משלים (מתמטיקה)

(הופנה מהדף משלים של קבוצה)

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה (באנגלית: complement of set) הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-. זאת ביחס לקבוצה כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של .

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת והמשלים של הוא הקבוצה , ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

הגדרה פורמליתעריכה

 
דיאגרמת ון של המשלים של   בקבוצת   הוא השטח המסומן בצבע אפור.

תהא   קבוצה, ותהא   קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של   ב-  יוגדר כך:  . סימונים מקובלים נוסף למשלים הם  . עם זאת, הסימון   מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמהעריכה

תהא קבוצה   המכילה את כל המספרים הטבעיים 1,2,3,....

תהא קבוצה   המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6.... הקבוצה   היא המשלים של   ביחס ל-  אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-  אך לא ב- , כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים 1,3,5....

ניתן לראות כי החיתוך של   עם   נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה  .

תכונות בסיסיותעריכה

 , כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הוא הקבוצה עצמה.

 , כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

 , כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

 , כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

 , כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגןעריכה

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

 
 


קישורים חיצונייםעריכה