משפט גאוס-בונה

משפט גאוס-בונה (או נוסחת גאוס-בונה) הוא משפט יסודי בגאומטריה דיפרנציאלית, הקושר בין הגאומטריה והטופולוגיה של משטחים. לפי המשפט, האינטגרל על העקמומיות של המשטח שווה תמיד למאפיין אוילר שלו. המשפט קרוי על שם קרל פרידריך גאוס, שפיתח גרסה אך מעולם לא פרסם אותה, ופייר אוסיאן בונה שפרסם מקרה פרטי של המשפט ב-1848.

המשפט

תהי M יריעה רימנית קומפקטית דו-ממדית. נסמן ב-K את עקמומיות גאוס של המשטח.

אם למשטח ישנה שפה $\partial M$, נסמן ב-$k_{g}$ את העקמומיות הגאודזית של השפה. אז $\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,$, כאשר dA הוא אלמנט השטח של המשטח, $\chi (M)$ הוא מאפיין אוילר (שהוא תמיד מספר שלם), ו- ds הוא אלמנט האורך של השפה.

במקרה שהשפה חלקה למקוטעין, אזי נפרש את האינטגרל $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ כסכום האינטגרלים המתאימים לאורך החלקים החלקים של השפה, בתוספת סכום הזוויות בפינות.

אם המשטח נטול שפה, אזי האינטגרל $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ מתאפס, ובכך מתקיים: $\int _{M}K\;dA=2\pi \chi (M),\,$. כלומר, המשפט קובע שעקמומיות גאוס הכוללת של משטח סגור שכזה שווה ל-$2\pi$ כפול מאפיין אוילר של המשטח. אם המשטח הוא גם בר-כיוון (אוריינטבילי), אז מאפיין אוילר שלו שווה ל-$2-2g$, כאשר g הוא הגנוס של המשטח.

דוגמה פשוטה

נניח ש-M הוא פני השטח של חצי הכדור הצפוני הנחתך מספירה בעלת רדיוס R. חצי הכדור הומיאומורפי לספירה עם חור או לדיסקה סגורה, ולכן מציין אוילר שלו הוא 1. באגף שמאל של המשפט מתקבל $K=1/R^{2}$ ו-$k_{g}=0$, שכן השפה של חצי הכדור הצפוני היא קו המשווה שהוא מעגל גדול, ומעגלים גדולים הם גאודזות של הספירה. לכן $\int _{M}KdA=2\pi$.

מצד שני, נניח שאנו משטחים את ההמיספירה והופכים אותו לדיסקה סגורה. טרנספורמציה זאת היא הומיאומורפיזם, ולכן מציין אוילר הוא עדיין 1. עם זאת, באגף שמאל של המשפט נקבל כעת $K=0$ ו-$k_{g}=1/R$, שכן העקמומיות הגאודזית מוגדרת ביחס למשטח ייחוס מסוים; כעת משטח הייחוס הוא מישורי, ומעגל אינו גיאודזה של המישור. לכן $\int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi$.

כדוגמה אחרונה, ניקח אוקטנט של הספירה, שגם הוא הומיאומורפי למשטחים מקודם. אז $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$. כעת $k_{g}=0$ כמעט בכל מקום על השפה, שהיא משולש גיאודזי, למעט בקודקודי המשולש, שם יש שלוש פינות ישרות-זווית, כך ש-$\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$.

פרשנות והשלכות

הטופולוגיה של משטח רימן קומפקטי אינה מסובכת: מציין אוילר מגדיר את המשטח. עם זאת, על כל מבנה טופולוגי אפשר להשרות את המבנה המטרי באינסוף דרכים. משפט גאוס-בונה מראה שבכל הדרכים האלה אינטגרל העקמומיות הוא קבוע. במילים אחרות (כשאין למשטח שפה), העקמומיות הממוצעת עומדת ביחס הפוך לשטח. לדוגמה, מציין אוילר של כדור הוא 2. עקמומיות-גאוס של כדור נעשית קטנה יותר ככל שהכדור גדל: העקמומיות של כדור ברדיוס R היא $1/R^{2}$. לפי משפט גאוס-בונה, יוצא ששטח הכדור כפול העקמומיות הקבועה הזו שווה תמיד ל-$4\pi$.

הקומפקטיות היא תנאי הכרחי במשפט: לעיגול היחידה הפתוח עקמומיות אפס, ולכן האינטגרל של העקמומיות שווה גם הוא לאפס; אבל לעיגול יש מציין אוילר 1. אכן, אם מוסיפים לכדור הפתוח את השפה שלו, השוויון מתקיים, משום שהאינטגרל על פני עקמומיות השפה הוא $2\pi$.

הטורוס, שמציין אוילר שלו הוא 0, מספק דוגמה חשובה נוספת. אפשר לבנות אותו על ידי זיהוי הצלעות המנוגדות בריבוע, כך שהעקמומיות היא אפס בכל נקודה, וממילא העקמומיות הממוצעת היא אפס. כאן התוצאה אינה מפתיעה. אבל השיכון הטבעי של הטורוס במרחב האוקלידי מספקת לו עקמומיות חיובית בחלק החיצוני, ושלילית בחלק הפנימי. משפט גאוס-בונה מבטיח שאלו מאזנות זו את זו, והעקמומיות הממוצעת היא אפס בכל שיכון אפשרי.

טריאנגולציה של משטחים מספקת למשפט גרסאות קומבינטוריות.

מקרים פרטיים

מספר תוצאות קודמות בגאומטריה כדורית וגאומטריה היפרבולית, שנתגלו במהלך המאות שקדמו לניסוח משפט גאוס-בונה, הם מקרים פרטיים שלו.

משולשים

בגאומטריה כדורית וגאומטריה היפרבולית, שטחו של משולש פרופורציונלי למידה בה סוטה סכום זוויותיו מ-180°, או באופן שקול המידה בה סוטה סכום זוויותיו החיצוניות מ-360°. השטח של משולש כדורי פרופורציונלי ליתרה הזוויתית, לפי משפט ז'יראר. עבור משטח ספירי התחום על ידי משולש כדורי מציין אוילר הוא 1, האינטגרל הקווי $\int k_{g}ds$ הוא $(\pi -\alpha )+(\pi -\beta )+(\pi -\gamma )=3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$, ולכן משפט גאוס בונה קובע:

$\int KdA+3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi \implies K\cdot A=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

וזהו משפט ז'יראר למשולשים כדוריים.

שטחו של משולש היפרבולי, שהוא משולש גיאודזי במשטח בעל עקמומיות שלילית קבועה, פרופורציונלי למגרעת הזוויתית שלו, כלומר ל- $\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$.

פאונים

כשם שהשפה של משולשים או מצולעים כדוריים והיפרבוליים מהווה דוגמה לעקמומיות גאודזית המרוכזת "במידה אינסופית" בפינות המצולעים, כך גם פאונים מרחביים מהווים דוגמה למשטחים שלהם עקמומיות גאוס המרוכזת "במידה אינסופית" בנקודות מסוימות (קודקודי הפאון). במובן זה, משפט דקארט על פאונים - הקובע כי סכום המגרעות הזוויתיות בכל הקודקודים של פאון הומיאומורפי לספירה הוא $4\pi$ - הוא פועל יוצא של הגרסה הבדידה של משפט גאוס בונה. "המגרעת הזוויתית" בקודקוד של פאון מרחבי היא גודל המכליל את הזווית החיצונית בקודקוד מצולע מישורי, ומודד למעשה את ההפרש בין סכום הזוויות של הפאות הנפגשות באותו קודקוד של הפאון לזווית המרחבית שמגדירה חצי ספירה (שהיא $2\pi$). פורמלית, עקמומיות גאוס בקודקוד ה-p של הפאון היא $(2\pi -\sum \alpha _{i})\delta _{p}$, כאשר $\delta _{p}$ היא פונקציית דלתא של דיראק.

לדוגמה, עבור התריסרון המשוכלל, בכל אחד מעשרים הקודקודים שלו נפגשים שלושה מחומשים משוכללים, ולכן המגרעת הזוויתית היא $2\pi -3\cdot 3\pi /5=\pi /5$. לפיכך המגרעות הזוויתיות שלו נסכמות ל- $20\cdot \pi /5=4\pi$, בהתאמה עם משפט דקארט.

הכללות

משפט רימן-רוך ומשפט האינדקס של אטיה-זינגר מכלילים את משפט גאוס-בונה.

קישורים חיצוניים

• משפט גאוס-בונה, באתר MathWorld (באנגלית)