משפט דה מואבר

משפט מתמטי

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי ולכל מספר שלם מתקיים:

אברהם דה-מואבר

כאשר מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב , ו־ מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.

חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים ו- כפולינומים ב- ו-, בהתאמה. כך לדוגמה, . ראו פולינומי צ'בישב.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות , השקולה לזהויות הטריגונומטריות ו-.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי .

הוצאת שורש מרוכב

עריכה

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם   הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה  ,   ו-  .

המספר   (עם  ), הוא שורש מסדר n של z אם  , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,  . זה קורה בדיוק כאשר :

 

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור  (רדיאנים):

 

כאשר  , ואלו בדיוק n השורשים של z.

ראו גם

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה