ניסוח פורמליעריכה
תהיינה ו- פונקציות רציפות בקטע וגזירות בקטע . נניח שהנגזרת של לכל . אזי קיימת נקודה כך שמתקיים .
הערה: מכך שהנגזרת אינה מתאפסת בקטע ומקונטרה פוזיטיב למשפט רול מתקבל ולכן אין חלוקה באפס.
משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא מקרה פרטי של משפט הערך הממוצע של קושי, עבור .
ראשית נשים לב כי אם אז על פי משפט רול קיימת נקודה כך ש- , וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח .
כעת נגדיר פונקציה חדשה:
פונקציה זו נבנית מהפונקציות באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו , היא רציפה בקטע וגזירה בקטע .
אם נציב, נקבל את השוויון . לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה כך ש- .
אבל . ולכן: .
על פי הנתון, ולכן ניתן לחלק, ולקבל , כמבוקש.
קישורים חיצונייםעריכה