משפט הערך הממוצע של קושי

המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה שמקביל לישר המחבר את עם .

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

ניסוח פורמליעריכה

תהיינה   ו-  פונקציות רציפות בקטע   וגזירות בקטע  . כמו כן, נניח שהנגזרת של   אינה מתאפסת בקטע הפתוח (ולכן לפי משפט רול  ). אזי קיימת נקודה   כך שמתקיים  . ראו המחשה למשפט זה באיור משמאל.

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה  .

הוכחהעריכה

ראשית נשים לב כי אם   אז על פי משפט רול קיימת נקודה   כך ש- , וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח  .

כעת נגדיר פונקציה חדשה:

 
. פונקציה זו נבנית מהפונקציות   באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו  , היא רציפה בקטע   וגזירה בקטע  .

אם נציב, נקבל את השוויון  . לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה   כך ש- .

אבל  . ולכן:  .

על פי הנתון,   ולכן ניתן לחלק, ולקבל  , כמבוקש.

דוגמה ומסקנה במקרה הפרטי של שתי פונקציות ליניאריותעריכה

כדי להמחיש את קיום המשפט, נדגים מקרה פרטי פשוט: שתי פונקציות   ליניאריות בקטע  . נסמן   , , ונדרוש, בהתאם לדרישות המשפט:  .

מאחר שבחרנו   בעלות נגזרת קבועה בקטע, אזי על פי המשפט מתקיים:  . ממשוואת הקו הישר נובע:  , ובאותו אופן:  .

ומכאן קל לראות ש:   מתקיים.

מהדוגמה ניתן לראות שמשפט הערך הממוצע של קושי, במקרה הפרטי של שתי פונקציות ליניאריות בקטע מסוים, אומר שיחס שיפועי הפונקציות זהה ליחס גדילת הפונקציות לאורך הקטע.