פתיחת התפריט הראשי

משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא גם משפט פיקאר-לינדלוף (Picard-Lindelöf), משפט הקיום של פיקאר או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: אמיל פיקאר, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

משפט הקיום והיחידותעריכה

יהי D מלבן סגור המכיל את הנקודה   בפנים שלו. תהי   פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-D, המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה   המוגדרת בקטע פתוח סביב   וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית   לכל t בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה  .

סקירת ההוכחהעריכה

הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):

נגדיר

 

וגם

 

אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של   (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על  , כאשר   ו-  הם שני פתרונות, יראה ש- , ולכן הפתרון הוא יחיד.

לקריאה נוספתעריכה

  • M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קישורים חיצונייםעריכה