משפט נילסן-שרייר

בתורת החבורות, משפט נילסן-שרייר קובע שכל תת-חבורה של חבורה חופשית היא חופשית בעצמה.

טענה מקבילה לחבורות אבליות, שכל תת-חבורה של חבורה אבלית חופשית היא אבלית חופשית, הוכחה על ידי ריכרד דדקינד. יאקוב נילסן הוכיח ב-1921 שהמשפט נכון לכל תת-חבורה נוצרת סופית. אוטו שרייר הוכיח את המשפט במלואו בהביליטציה שלו ב-1926.

להוכחת המשפט נחוצה אקסיומת הבחירה, וקיימים מודלים של ZF ללא אקסיומת הבחירה בהם המשפט לא נכון. בהינתן אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF), המשפט גורר גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה, לקבוצות סופיות.

להבדיל מתת-החבורות, שכולן חופשיות, חבורת מנה של חבורה חופשית עשויה להיות כל חבורה שהיא.

הוכחה

מרחב המתקבל מהדבקת שני מעגלים. החבורה היסודית של המרחב היא החבורה החופשית הנוצרת על ידי שני איברים: לולאה סביב המעגל הראשון ולולאה סביב המעגל השני.

הוכחה קצרה המבוססת על טופולוגיה אלגברית נמצאה על ידי ריינהולד בר ופרידריך לוי.

תהי $\langle X\rangle$ חבורה חופשית. נסתכל על המולטיגרף עם צומת אחד ועם $|X|$ קשתות המחברות את הצומת לעצמו. זהו מרחב טופולוגי המתקבל מלקיחת $|X|$ מעגלים והדבקתם זה לזה בנקודה אחת משותפת לכל המעגלים. החבורה היסודית של המולטיגרף היא $\langle X\rangle$ - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר (נובע ממשפט ואן קמפן). כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של מרחב כיסוי. קל לראות שכל מרחב כיסוי של מולטיגרף הוא גם מולטיגרף. מכאן שאם נוכיח שהחבורה היסודית של מולטיגרף היא תמיד חופשית, נקבל את משפט נילסן-שרייר.

נבחר עץ פורש של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה אקסיומת הבחירה, אם הגרף אינסופי) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף. פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של מרחב המנה של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת). באופן כזה נקבל מולטיגרף שקול הומוטופית למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד. החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם צומת אחד היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.

הוכחה נוספת

נביא הוכחה נוספת, דומה אך קומבינטורית יותר (ללא שיקולים כלל מטופולוגיה אלגברית)

תהי $F$ חבורה חופשית הנוצרת על ידי $a_{1}\dots a_{n}$ ותהי $H$ תת-חבורה שלה. נבנה גרף $G$ בצורה הבאה: הקודקודים יהיו המחלקות השמאליות של $H$, ותהיה קשת מהקודקוד $Hx$ עם הסימן $a_{i}$ לקודקוד $Hxa_{i}$ (קל לראות שזה מוגדר היטב) כיוון שהכפלה ב-$a_{i}$ היא פרמוטציה על המחלקות, לכל קודקוד נכנסת בדיוק קשת אחת עם כל יוצר ויוצאת בדיוק קשת אחת. (למרות שתהיה חשיבות לכיוון של הקשתות, כללית נתייחס לגרף כלא מכוון, כלומר הילוכים בגרף יוכלו לעבור בקשתות גם נגד כיוונן)

כעת נסמן $A=\{A_{1},\dots ,a_{n},a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1}\}$. לכל קודקוד $v$ ולכל איבר מ-$A$, "ללכת על האיבר" פירושו יהיה: אם האיבר הוא $a_{i}$, לעבור לקודקוד $u$ כך שיש קשת מ-$v$ ל-$u$ עם הסימן $a_{i}$, ואם האיבר $a_{i}^{-1}$, לעבור לקודקוד $u$ כך שיש קשת מ-$u$ ל-$v$ עם הסימן $a_{i}$, ואם האיבר $a_{i}^{-1}$. (מוגדר היטב כי ראינו שלכל יוצר וקודקוד יש קשת אחת נכנסת ואחת יוצאת מכל סימן) כמו כן למילה $w$ נגדיר "ללכת על המילה" ללכת אחד אחד על איבריה. קל לראות באינדוקציה שאם נצא מהקודקוד $Hx$ ונלך על המילה $w$ נגיע לקודקוד $Hxw$. מכאן נובע מייד שהגרף קשיר כי כדי להגיע מהקודקוד $Hx$ לקודקוד $Hy$ אפשר ללכת על המילה $x^{-1}y$.

כיוון שהגרף קשיר, יש לו עץ פורש. נתבונן בקשתות שלא נמצאות עליו ונסמנן $E$. מטרתנו תהיה להראות ש-$H$ איזומורפית לחבורה החופשית הנוצרת מאיברי $E$.

נקרא למסלול בגרף "מסלול טוב" אם הוא מתחיל ונגמר ב-$H$, ואין בו מעבר פעמיים רצוף על אותה קשת בכיוונים הפוכים ("פניית פרסה"). נסמן את קבוצת המסלולים הטובים ב-$P$. ראשית נראה התאמה חח"ע ועל בין $H$ ל-$P$: בכיוון אחד, לכל מילה $w$ ב-$H$ נתאים את המסלול שלה (בצורתה המצומצמת) שיוצא מ-$H$. הוא חוזר ל-$H$ בסוף כי המילה ב-$H$, והוא גם לא כולל פניות פרסה כי מילים בצורה מצומצמת לא כוללות איבר ומייד לאחר מכן ההופכי שלו. בכיוון ההפוך, נתאים למסלול טוב את המילה שלו, והיא ב-$H$ כי המסלול התחיל ונגמר ב-$H$.

כעת נראה התאמה חח"ע ועל בין $P$ לחבורה החופשית הנוצרת על ידי $E$: בכיוון אחד, יהי מסלול טוב, אז נתאים לו את המילה מעל $E$ שמורכבת מכל הקשתות ב-$E$ שעברנו עליהן במהלך המסלול הזה (אם עברנו נגד הכיוון זה יהיה האיבר ההופכי). בכיוון ההפוך, בהינתן מילה מ-$E$, נבנה את המסלול הטוב בצורה הבאה: אם המילה היא $e_{1},\dots ,e_{n}$, כצעד ראשון נלך מ-$H$ להתחלה של הקשת $e_{1}$ (או לסוף אם היא $e_{1}^{-1}$) בלי לעבור בקשתות מ-$E$. קיימת דרך יחידה לעשות זאת, כי הגרף ללא $E$ הוא עץ (בעץ יש מסלול יחיד בין כל שני קודקודים) לאחר מכן נלך מהסוף של $e_{1}$ להתחלה של $e_{2}$, שוב בלי לעבור ב-$E$ (אפשרי מאותה סיבה) נעשה זאת על כל איברי המילה, ולבסוף נחזור מסוף $e_{n}$ חזרה ל-$H$ מבלי לעבור ב-$E$. יחד עם הקשתות $e_{1},\dots ,e_{n}$ עצמן, קיבלנו מסלול טוב שהקשתות מ-$E$ שהוא עובר בהן הן בדיוק $e_{1},\dots ,e_{n}$.

סה"כ הרכבת ההתאמות נותנת התאמה חח"ע ועל מ-$H$ לחבורה החופשית הנוצרת מאיברי $E$. קל לראות שזה הומומורפיזם (הכפלת איברים מ-$H$ עוברת לשרשור מסלולים טובים, שעובר לשרשור מילים מעל $E$) ולכן זה גם איזומורפיזם, ולכן $H$ חופשית כרצוי.