פתיחת התפריט הראשי
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משפט סטוקס הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. המשפט קרוי על שם ג'ורג' סטוקס והוא בעל חשיבות רבה באנליזה של שדות וקטוריים.

בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית ותבנית דיפרנציאלית המוגדרת על מתקיים:

כאשר היא הנגזרת החיצונית של ו- היא השפה של .

תוכן עניינים

מקרים פרטייםעריכה

חוק סטוקסעריכה

במרחב הווקטורי  , ניתן לנסח את המשפט כך:  , כאשר   היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל מסילתי של השדה על שפת  , והאגף הימני הוא אינטגרל משטחי על השטף של רוטור השדה דרך  . שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעיתים בפי הפיזיקאים חוק סטוקס) הוא במשוואות מקסוול, או ליתר דיוק, בחוק אמפר ובחוק פאראדיי.

משפט גריןעריכה

  ערך מורחב – משפט גרין

משפט גרין הוא מקרה פרטי של חוק סטוקס, בו השדה הווקטורי הוא  . במקרה זה בהינתן מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין  , נקרא לשטח החסום על ידי המסילה   ויתקיים:
 

משפט גאוסעריכה

מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־  היא משפט גאוס (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ):  , כאשר   הוא נפח ב־ ,   היא המעטפת הכולאת אותו, ו־  הוא וקטור נורמלי למשטח  . האגף השמאלי הוא אינטגרל נפחי של הדיברגנץ של   על הנפח  , ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של השטף של   דרך  . גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא חוק גאוס.

משפט הגרדיאנט (נוסחת ניוטון-ליבנייץ)עריכה

משפט הגרדיאנט הוא הכללה של נוסחת ניוטון ליבנייץ ואומר שאם   מסילה גזירה ו-   פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית אזי:
 

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא משפט סטוקס בוויקישיתוף