משפט פסקל: שלוש הנקודות המסומנות נמצאות על ישר אחד

משפט פסקל הוא משפט בגאומטריה של המישור, העוסק בנקודות המפגש של שתי שלשות של נקודות. את המשפט הוכיח בלז פסקל ב-1639.

תהיינה 1,2,3,4,5,6 נקודות על חתך חרוט (אליפסה, היפרבולה וכדומה). נשרטט את המשושה 123456, שצלעותיו הן הישרים המחברים את הזוגות 12,23,34,45,56,61. משפט פסקל קובע ששלוש נקודות החיתוך של הצלעות הנגדיות, כלומר , , ו-, נמצאות על ישר אחד. ישר זה נקרא ישר פסקל של המשושה. הוכחתו המקורית של פסקל לא נשתמרה, ומשערים שהיא מבוססת על משפט מנלאוס ביחס למשולש שצלעותיו הן הישרים 12,34,56.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל שש נקודות המקיימות את תנאי פסקל נמצאות על חתך חרוט. היפוך המשפט מאפשר לשרטט חתך חרוט באופן מכני: נקבע ישרים ונקודות ; אז המקום הגאומטרי של הנקודות כאשר הוא חתך חרוט, העובר דרך הנקודות .

הוכחהעריכה

למשפט פסקל ישנן הוכחות רבות.[דרוש מקור] אחת מהן משתמשת במשפט קיילי-בכראך (אנ'), האומר כי אם שלושה עקומים אליפטיים נחתכים בשמונה נקודות, קיימת נקודה תשיעית שכל השלושה עוברים בה. בגלל משפט בז'ו (אנ'), האומר כי זוג עקומים אליפטיים נחתכים בתשע נקודות בדיוק, ניסוח שקול למשפט קיילי-בכראך הוא "אם עקום אליפטי שלישי עובר ב-8 מנקודות החיתוך של זוג עקומים אליפטיים אזי הוא עובר גם בתשיעית".

שני העקומים האליפטיים הראשונים הם   ו- , מכפלה (או איחוד) של שלושה ישרים. העקום השלישי יהיה חתך החרוט כפול (או מאוחד עם) ישר שעובר בשתיים משלוש הנקודות שמטרתינו להוכיח שהן על ישר. שלושת העקומים נחתכים ב-8 נקודות: 1,2,3,4,5,6 ושתיים מהנקודות האדומות. שני העקומים הראשוניים נחתכים בנקודה האדומה השלישית; ולכן גם העקום השלישי. חתך החרוט לא עובר בנקודה הזו (אחרת אחד מהישרים היה חותך את חתך החרוט 3 פעמים) ולכן הישר דרך 2 הנקודות האדומות עובר בנקודה האדומה השלישית.

Hexagrammum Mysticumעריכה

 
שלושה ישרי פסקל נפגשים בנקודת שטיינר

נניח ששש הנקודות 1,2,3,4,5,6 נתונות בלי חשיבות לסדר. מכיוון שהמשושה תלוי בסדר הקודקודים ולא רק במקומם, יש   משושים שונים שאלו הקודקודים שלהם (המשושה נקבע לפי מספור ששת הקודקודים, עד כדי סיבוב והיפוך הסדר). כל אחד ואחד מן המשושים האלה מגדיר ישר פסקל משלו, כך שששיית הנקודות במישור קובעת מערכת של 60 ישרי פסקל הקרויה "Hexagrammum Mysticum", שיש לה תכונות קומבינטוריות מורכבות.

 
20 נקודות שטיינר ו-15 ישרי פלוקר של ששיית נקודות

לדוגמה, יאקוב שטיינר הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שלוש נקודות זוגיות (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 143652 ו-163254) נפגשים בנקודה אחת; כך נוצרות 20 "נקודות שטיינר" (ראה איור). יש 15 "ישרי פלוקר" שכל אחד מהם עובר דרך ארבע נקודות שטיינר [1] (ראה איור). בדומה לזה, T.P. Kirkman (1806-1895) הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שתי שלשות רצופות בכיוונים הפוכים (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 312564 ו-231645) גם הם נפגשים בנקודה אחת, וכך נוצרות 60 נקודות שכל אחת מהן שייכת לשלושה ישרי פסקל. יש 20 "ישרי קיילי" שכל אחד מהם עובר דרך נקודת שטיינר ושלוש נקודות קירקמן; ויש 15 "נקודות סלמון" שכל אחת מהן היא נקודת המפגש של ארבעה ישרי קיילי.

מקורותעריכה

  • Geometry Revisited, Coxeter and Greitzer, Section 3.8

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא משפט פסקל בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ נסמן ב-D את חבורת התמורות הנוצרת על ידי הסיבוב (123456) והשיקוף (26)(35); לכל תמורה   מוגדר ישר פסקל של הקוסט  . נסמן   ו- . הישרים של   נפגשים בנקודת שטיינר של הקוסט  .