משפט שפלי-שוביק

(הופנה מהדף משפט שפלי שוביק)

משפט שפלי שוביק הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה.

הערה: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות.

המשפט ההפוך אינו נכון.

הוכחהעריכה

הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.

במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק.

נסמן ב-   את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה  :

 

כאשר   הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה  .

נגדיר את התשלום לקואליציה   בצורה הבאה:  , כאשר   היא פונקציית הייצור.
לכל קואליציה   נבחר הקצאה   שבה מתקבל המקסימום בהגדרת  .

מתקיים:

(i)   לכל שחקן i.

(ii)  , כאשר   הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.

(iii)  

נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן.

יהי  , כאשר   הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב- , ו-  היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את  .

צריך להראות כי  .
נגדיר:

 .

נראה כי   הוא הקצאה אפשרית:

  כי הוא ממוצע של וקטורים ב- . נותר להראות כי  :

 
מכיוון ש-  ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:

 

  הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר -

 
לכן -

 
כלומר   הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת   ומהגדרת   נקבל:

 

אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות  . על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:

 .

כיון ש-   הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה.  

ראו גםעריכה


לקריאה נוספתעריכה