משתמש:יחס הזהב/טיוטה15

שאלה 9
נניח בשלילה שקיימים כך ש- כאשר הוא שבר מצומצם.
נשים לב:.
לפי ההנחה. אז גם , נסמנו . כלומר קיים כך ש- אז לפי הגדרה .
מכך ש- ומהטענה הנתונה נובע . אז לפי הגדרה קיים כך ש-.

מ- ומ- נובע:.

לפי ההגדרה. אז גם , נסמנו . כלומר קיים כך ש- אז לפי הגדרה .
מכך ש- ומהטענה הנתונה נובע . אז לפי הגדרה קיים כך ש-.

קיבלנו וגם כאשר . אזי מתקיים: .

מכאן נובע שניתן לצמצם את ב-, וזאת בסתירה להנחה ש- שבר מצומצם.

הנחנו שקיימים כך ש- והגענו לסתירה, אזי לא קיימים כאלה ולכן לא ניתן להציג את כמנת טבעיים. מש"ל.


שאלה 10 סעיף א'

יהי . נפצל למקרים:

הנחנו אז גם .
אז לפי הגדרה:
נשים לב:
הנחנו וגם אז גם ולכן .
אז מ- ומ- ומטרנזיטיביות השוויון: .
הנחנו אז מהגדרת ערך מוחלט: .
אז מ- ומ- ומטרנזיטיביות השוויון: .

הנחנו ולכן .
לפי הגדרה:
נשים לב:
הנחנו וגם אז ולכן בהכרח .
אז מ- ומ- מטרנזיטיביות השוויון: .
הנחנו אז מהגדרת ערך מוחלט .
אז מ- ומ- ומטרנזיטיביות השוויון: .

הראנו שלכל מתקיים: . מש"ל.


שאלה 10 סעיף ב'

יהי . נפצל למקרים:

:

לפי הגדרת ערך מוחלט .
מההנחה נובע . אז לפי הגדרת ערך מוחלט: . לפיכך .
אז מטרנזיטיביות השוויון: .

:

אז לפי הגדרת ערך מוחלט . מכאן ומההנחה נובע: .
מההנחה נעביר אגפים ונקבל אז לפי הגדרת ערך מוחלט . מכאן ומההנחה נובע: .
אז מטרנזיטיביות השוויון: .

:

לפי הגדרת ערך מוחלט .
מההנחה נעביר אגפים ונקבל . אז לפי הגדרת ערך מוחלט .
אז מטרנזיטיביות השוויון: .
הראנו שלכל מתקיים: . מש"ל.

שאלה 10 סעיף ג'

יהיו . נפצל למקרים:

וגם :

לפי הגדרה וגם אז מאריתמטיקה .

לפי הנחה וגם אז גם אז לפי הגדרת ערך מוחלט .

אז מטרנזיטיביות השוויון .

וגם :

לפי הגדרה ו- אז מאריתמטיקה .

לפי הנחה ו- אז אז לפי הגדרת ערך מוחלט .

אז מטרנזיטיביות השוויון .

וגם :

לפי הגדרה ו- אז מאריתמטיקה .

לפי הנחה ו- אז אז לפי הגדרת ערך מוחלט .

אז מטרנזיטיביות השוויון .

וגם

לפי הגדרה ו- אז מאריתמטיקה .

לפי הנחה וגם אז אז לפי הגדרת ערך מוחלט .

אז מטרנזיטיביות השוויון .

וגם

לפי הגדרה ו- אז מאריתמטיקה .

לפי הנחה ו- אז אז לפי הגדרת ערך מוחלט .

אז מטרנזיטיביות השוויון .

וגם

לפי הגדרה ו- אז מאריתמטיקה .

לפי הנחה וגם אז אז לפי הגדרת ערך מוחלט .

אז מטרנזיטיביות השוויון .

הראנו שלכל מתקיים .


שאלה 11 סעיף א'

נפריך באמצעות דוגמה נגדית. נבחר .
.
.
קיבלנו בניגוד לטענה.
הראנו כי קיים לפחות מקרה פרטי אחד שבו הטענה שגויה, ודי בו כדי להפריכה.

שאלה 11 סעיף ב'

יהי . נפצל למקרים:
:
לפי הגדרה מתקיים . מכך ש- ומהגדרת "או" נובע . אז מטרנזיטיביות השוויון נובע .
:
מההנחה . נובע . אז מטרנזיטיביות (הוכח בסעיף 5א') נובע . מ- ומהגדרת "או" נובע .
מההנחה ומהגדרת ערך מוחלט מתקיים: . אז מטרנזיטיביות נובע .

הראנו כי לכל מתקיים . מש"ל.


שאלה 11 סעיף ג'

הוכח:

יהי . נפצל למקרים:

:

הנחנו ומתקיים אז מטרנזיטיביות (הוכח בשאלה 5א') מתקבל .
מ- ומהגדרת ערך מוחלט נובע . מארתימטיקה נובע .
הנחנו אז מאריתמטיקה . אז מהגדרת ערך מוחלט מתקיים: .
נחסר את המשוואות:
אז מהגדרת "או" אז לפי הגדרה (סעיף 6א') מתקיים .

:

.
.
נחסר את המשוואות:
אז מהגדרת "או" אז לפי הגדרה (סעיף 6א') מתקיים .

:

לפי הנחה, לכן מהגדרת ערך מוחלט , ומאריתמטיקה .
מההנחה ומאריתמטיקה נובע לכן מהגדרת ערך מוחלט נובע: .
נחסר את המשוואות:
הנחנו אזי , אז מטרנזיטיביות השוויון .
אז מהגדרת "או" מתקיים .
אז לפי הגדרה (סעיף 6א') מתקיים .

:

.
.
נחסר את המשוואות:
אז מהגדרת "או" אז לפי הגדרה (סעיף 6א') מתקיים .

:

לפי הנחה. לכן מהגדרת ערך מוחלט נובע . אז מאריתמטיקה נובע .
אז מאריתמטיקה . בנוסף מתקיים . אז מטרנזיטיביות (סעיף 5א') .
לכן מהגדרת ערך מוחלט נובע .
נחסר את המשוואות:
אז לפי הגדרה (סעיף 6א') מתקיים .

הראנו שלכל מתקיים: . מש"ל.


שאלה 12

יהיו .
נניח וגם .
הנחנו אז לפי ההוכחה בסעיף 7ב' מתקיים:
בנוסף, לפי ההנחה וההוכחה בסעיף 7ב' מתקיים:
אז מטרנזיטיביות (ההוכחה בסעיף 5א') נובע: .
הנחנו אז לפי ההוכחה בסעיף 7ג' מתקיים:
קיבלנו וגם אז מחיבור המשוואות נובע כלומר: . מש"ל.