במתמטיקה , מונח בלתי מוגדר עשוי לאפיין אובייקט בשתי נסיבות: מצב בו לא הוגדר אובייקט או מצב בו לא ניתן להגדיר אובייקט באופן בעל משמעות. בחשבון אינפיניטסימלי ובענפים אחרים של ניתוח מתמטי ניתן למצוא גבול של ביטוי הכולל שילוב אלגברי של מספר פונקציות על ידי החלפת פונקציות אלה בגבולותיהם. אם הביטוי המתקבל לאחר החלפה זו אינו נותן מספיק מידע כדי לקבוע את גבולו של הביטוי המקורי, נאמר שהביטוי מקבל צורה בלתי מוגדרת . המונח הוצג במקור על ידי תלמידו של קושי , מויניו , באמצע המאה ה-19 .
הצורות הבלתי מוגדרות הן:
1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 , 0 0 , ∞ ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ {\displaystyle 1^{\infty },\ 0^{0},\ \infty \ ^{0},\ {\frac {0}{0}},\ {\frac {\infty }{\infty }},\ 0\cdot \infty ,\ \infty -\infty } הדוגמה הנפוצה ביותר לצורה בלתי מוגדרת היא יחס בין שתי פונקציות השואפות לאפס בגבול, כלומר גבול מהצורה 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} x {\displaystyle x}
lim x → 0 ( x x 3 ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {x}{x^{3}}}\right)=\infty }
lim x → 0 ( x x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {x}{x}}\right)=1}
lim x → 0 ( x 2 x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {x^{2}}{x}}\right)=0}
בכל מקרה, אם מתחלפים גבולות המונה והמכנה, הביטוי שנוצר הוא 0 0 {\textstyle {\frac {0}{0}}} 0 0 {\textstyle {\frac {0}{0}}}
באופן רשמי יותר, כשנתון כי הפונקציות f ( x ) {\textstyle f(x)} g ( x ) {\textstyle g(x)} סביבת 0 {\textstyle 0} x {\textstyle x} לנקודת גבול c {\textstyle c} גבול lim x → c f ( x ) g ( x ) {\textstyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
לביטוי מצורה בלתי מוגדרת עשוי להיות ערך בהקשרים מסוימים. לדוגמה, אם k {\textstyle k} מספר קרדינלי אינסופי, אז הביטויים 0 k {\textstyle 0^{k}} 0 0 {\textstyle 0^{0}} 1 k {\textstyle 1^{k}} k 0 {\textstyle k^{0}} חשבון קרדינלי .
אריתמטיקה במובן הרחב
עריכה
ניתן להרחיב באופן חלקי את הפעולות האריתמטיות של R {\displaystyle \mathbb {R} }
a + ∞ = + ∞ + a = + ∞ , a ≠ − ∞ a − ∞ = − ∞ + a = − ∞ , a ≠ + ∞ a ⋅ ( ± ∞ ) = ± ∞ ⋅ a = ± ∞ , a ∈ ( 0 , + ∞ ] a ⋅ ( ± ∞ ) = ± ∞ ⋅ a = ∓ ∞ , a ∈ [ − ∞ , 0 ) a ± ∞ = 0 , a ∈ R ± ∞ a = ± ∞ , a ∈ ( 0 , + ∞ ) ± ∞ a = ∓ ∞ , a ∈ ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}
רשימת צורות בלתי מוגדרות
עריכה
הטבלה הבאה מציגה את הצורות הבלתי מוגדרות הנפוצות ביותר ומעברים אלגבריים שבאמצעותם ניתן ליישם את כלל לופיטל.
צורה בלתי מוגדרת
מצב
המרה ל-0/0
המרה ל-∞/∞
0 / 0 {\displaystyle 0/0} lim x → c f ( x ) = 0 , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!} —
lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} ∞ / ∞ {\displaystyle \infty /\infty } lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c 1 / g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!} —
0 ⋅ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty } lim x → c f ( x ) = 0 , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c g ( x ) 1 / f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!} ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → c 1 / g ( x ) − 1 / f ( x ) 1 / ( f ( x ) g ( x ) ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!} lim x → c ( f ( x ) − g ( x ) ) = ln lim x → c e f ( x ) e g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!} 0 0 {\displaystyle 0^{0}} lim x → c f ( x ) = 0 + , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} 1 ∞ {\displaystyle 1^{\infty }} lim x → c f ( x ) = 1 , lim x → c g ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} ∞ 0 {\displaystyle \infty ^{0}} lim x → c f ( x ) = ∞ , lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c g ( x ) 1 / ln f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!} lim x → c f ( x ) g ( x ) = exp lim x → c ln f ( x ) 1 / g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
![{\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038e1a0d60b71ec17137e0a0e0db6e420cba1fa6)
