משתמש:יחס הזהב/טיוטה9

סכומי דארבו

ערכים מורחבים – סכומי דארבו

חישוב הסכום העליון של פונקציה

חישוב הסכום התחתון של פונקציה

נניח ש־ $\ f$ חסומה בקטע הסגור $\left[a,b\right]$. לכל חלוקה $\ P$, אפשר לחשב בנפרד את השטח שהחלוקה מאתרת מתחת לגרף, ואת השטח שהחלוקה מאתרת מעל לגרף. לצורך כך נסמן בכל תת-קטע $\ [x_{i-1},x_{i}]$ של החלוקה, את החסם העליון של הפונקציה ב־ $\ M_{i}$, ואת החסם התחתון ב־ $\ m_{i}$ (אם לפונקציה יש בתת-הקטע הזה ערך מינימלי או מקסימלי, אלו יהיו הערכים של $\ m_{i}$ ושל $\ M_{i}$ בהתאמה). באופן הזה, מובטח ש־ $\ m_{i}\leq f(t)\leq M_{i}$ לכל $\ t$ בתת-הקטע. משום כך סביר לקבוע ששטחו של התחום המישורי המוגבל על ידי ציר ה־x, גרף הפונקציה, והישרים $\ x=x_{i-1}$ ו־ $\ x=x_{i}$, גדול או שווה לשטח המלבן $\ m_{i}|x_{i}-x_{i-1}|$, וקטן (או שווה) לשטח המלבן $\ M_{i}|x_{i}-x_{i-1}|$.

אם נסכם את כל המלבנים, הסכום $\ {\underline {S}}(P)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}|x_{i}-x_{i-1}|$ נקרא הסכום התחתון של החלוקה, ואילו $\ {\overline {S}}(P)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|x_{i}-x_{i-1}|$ הוא הסכום העליון שלה. קל להוכיח שאם $\ P'$ מהווה עידון של $\ P$, אז $\ {\underline {S}}(P)\leq {\underline {S}}(P')\leq {\overline {S}}(P')\leq {\overline {S}}(P)$, ולכן, כאשר מעדנים את החלוקה, המרחק בין הסכום העליון לתחתון מצטמצם.

החסם התחתון של כל הסכומים העליונים $\ {\overline {S}}(P)$, עבור כל החלוקות האפשריות, הוא האינטגרל העליון. החסם העליון של כל הסכומים התחתונים $\ {\underline {S}}(P)$ הוא האינטגרל התחתון. הפונקציה אינטגרבילית לפי דארבו, אם שני ערכים אלו שווים זה לזה (פירושו של השוויון הוא שקיימת סדרה של חלוקות $\ P_{n}$ המעדנות זו את זו, כך שההפרש $\ {\overline {S}}(P_{n})-{\underline {S}}(P_{n})$ שואף לאפס).

אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה. ההגדרה שנתנה לעיל מתאימה לפונקציות חסומות, ולחישוב מעל קטע סגור. עם זאת, אפשר להרחיב את ההגדרה גם למקרים כלליים יותר – ראו אינטגרל לא אמיתי.

ראה גם

תהי $f$ מוגדרת וחסומה בקטע $[a,b]$ ותהי $P=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ חלוקה של הקטע.

לכל $k$ כך ש- $1\leq k\leq n$ נגדיר גם נקודות גובה מקסימלי ומינימלי בקטע (יש לשים לב שהסופרמום והאינפימום אינם בהכרח שווים למקסימום ולמינימום בקטע):

• $M_{k}:=\sup {\big \{}f(x):x_{k-1}\leq x\leq x_{k}{\big \}}$
• $m_{k}:=\inf {\big \{}f(x):x_{k-1}\leq x\leq x_{k}{\big \}}$

בהתאם לכך נגדיר:

• שטח חוסם - סכום דארבו עליון: ${\overline {S}}(f,P):=\sum \limits _{k=1}^{n}M_{k}\Delta x_{k}$
• שטח חסום - סכום דארבו תחתון: ${\underline {S}}(f,P):=\sum \limits _{k=1}^{n}m_{k}\Delta x_{k}$

משפט הערך הממוצע האינטגרלי

למשפט הערך הממוצע לנגזרת יש גרסה מקבילה לאינטגרל. המשפט קובע כי לכל פונקציה רציפה $\ f$ בקטע $\ [a,b]$ קיים $c\in (a,b)$ כך שמתקיים: $\ \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\ f(c)(b-a)$. המשמעות הגאומטרית לפונקציה אי-שלילית היא שקיימת נקודה $\ f(c)$ על הגרף של $\ f$ כך שהשטח מתחת לגרף של $\ f$ שווה לשטח המלבן שאורכו אורך הקטע $\ [a,b]$ וגובהו כגובה הנקודה $\ f(c)$.

קיימת גרסה נוספת למשפט, כך שאם $\ f(x)$ רציפה בקטע $\ [a,b]$ ו- $\ g(x)$ פונקציה אינטגרבילית שלא משנה סימן בקטע $(a,b)$ (תמיד חיובית או תמיד שלילית), אז קיים: $c\in (a,b)$ כך ש: $\ \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\ f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx$