משתמש:יחס הזהב/צורה בלתי מוגדרת

בחשבון אינפיניטסימלי ובענפים אחרים של ניתוח מתמטי ניתן למצוא גבול של ביטוי הכולל שילוב אלגברי של מספר פונקציות על ידי החלפת פונקציות אלה בגבולותיהם. אם הביטוי המתקבל לאחר החלפה זו אינו נותן מספיק מידע כדי לקבוע את גבולו של הביטוי המקורי, נאמר שהביטוי מקבל צורה בלתי מוגדרת. המונח הוצג במקור על ידי תלמידו של קושי, מויניו, באמצע המאה ה-19.

הצורות הבלתי מוגדרות הן:

$${\frac {0}{0}}{\text{-ו}}~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0},\infty ^{0}$$

הדוגמה הנפוצה ביותר לצורה בלתי מוגדרת היא יחס בין שתי פונקציות השואפות לאפס בגבול, והיא מכונה "הצורה הבלתי מוגדרת ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$". כאשר ${\textstyle x}$ מתקרב ל 0, יחסי ${\textstyle x/x^{3}}$' ${\textstyle x/x}$ו- ${\textstyle x^{2}/x}$ שואפים ל- ∞, 1 ו- 0 בהתאמה. בכל מקרה, אם מתחלפים גבולות המונה והמכנה, הביטוי שנוצר הוא ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$, שאינו מוגדר. כך ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ יכול לקבל את הערכים 0, 1 או ∞, וניתן לבנות דוגמאות דומות שהגבול עבורן הוא ערך מסוים.

באופן רשמי יותר, כשנתון כי הפונקציות ${\textstyle f(x)}$ ו-${\textstyle g(x)}$ בסביבת ${\textstyle 0}$ כאשר ${\textstyle x}$ מתקרב לנקודת גבול ${\textstyle c}$, אז אין מספיק מידע כדי להעריך את הגבול ${\textstyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$. לא כל ביטוי אלגברי שאינו מוגדר תואם צורה בלתי מוגדרת. לדוגמה, הביטוי ${\textstyle {\frac {1}{0}}}$ אינו מוגדר כמספר ממשי אך אינו תואם צורה בלתי מוגדרת כי כל גבול מצורה זו יישאף לאינסוף.

לביטוי צורה בלתי מוגדר עשוי להיות ערך בהקשרים מסוימים. לדוגמה, אם ${\textstyle k}$ הוא מספר קרדינלי אינסופי, אז הביטויים ${\textstyle 0^{k}}$, ${\textstyle 0^{0}}$, ${\textstyle 1^{k}}$, ${\textstyle k^{0}}$ מוגדרים היטב בהקשר של חשבון קרדינלי.

כמה דוגמאות

• 
  תרשים 1: תבנית:Var = תבנית:Sfrac
• 
  תרשים 2: תבנית:Var = תבנית:Sfrac
• 
  תרשים 3: תבנית:Var = תבנית:Sfrac
• 
  תרשים 4: תבנית:Var = תבנית:Sfrac
• 
  תרשים 5: תבנית:Var = תבנית:Sfrac where תבנית:Var = 2
• 
  תרשים 6: תבנית:Var = תבנית:Sfrac

הצורה הבלתי מוגדרת 0/0 נפוצה במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי מכיוון שהיא מתעוררת לעתים קרובות בהערכת נגזרות תוך שימוש בהגדרת הגבול שלהם.

כמוזכר לעיל, תבנית:Block indent ולפי לופיטל:

די בכך כדי להראות ש- 0/0 הוא צורה בלתי מוגדרת. דוגמאות אחרות עם צורה בלתי מוגדרת זו כוללות תבנית:Block indent ו תבנית:Block indent החלפה ישירה של המספר ש- x מתקרב לכל אחד מהביטויים הללו מראה שמדובר בדוגמאות לצורה הבלתי מוגדרת 0/0, אך גבולות אלה נותנים ערכים רבים ושונים. ניתן להשיג כל ערך רצוי a עבור צורה בלתי מוגדרת זאת באופן הבא: תבנית:Block indent ניתן להשיג גם את האינסוף הערכי (במובן של שאיפה לאינסוף): תבנית:Block indent

צורה בלתי מוגדרת 0 ⁰

• 
  Fig. 7: תבנית:Var = תבנית:Varתבנית:Sup
• 
  Fig. 8: תבנית:Var = 0תבנית:Sup

המגבלות הבאות ממחישות כי הביטוי 0 ⁰ הוא צורה בלתי מוגדרת: תבנית:Block indentתבנית:Block indent כך, באופן כללי, הנתונים $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!$ ו $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ אינם מספיקים כדי לחשב את הגבול תבנית:Block indent אם הפונקציות f ו- g הן אנליטיות ב- c, ו- f חיובי עבור x קרוב מספיק (אך לא שווה) ל- c, אז גבול f ( x )   ^{g ( x )} יהיה 1.

ביטויים שאינם צורות בלתי מוגדרות

הביטוי 1/0 לא נחשב בדרך כלל כצורה בלתי מוגדרת מכיוון שאין טווח ערכים אינסופי ש- f / g יכול להתקרב אליו. באופן ספציפי, אם f מתקרב ל- 1 ו- g מתקרב ל -0, ניתן לבחור ב- f ו- g כך ש- (1) f / g מתקרב + ∞, (2) f / g מתקרב − or, או (3) הגבול לא מצליח להתקיים. בשני המקרים הערך המוחלט | f / g | מתקרב + ∞, ולכן ה- f / g של המנה חייב להתבדל, במובן של המספרים האמיתיים המורחבים . (במסגרת הקו האמיתי המורחב השלכתית, הגבול הוא האינסוף הלא חתום ∞ בשלושת המקרים. באופן דומה), כל ביטוי של הטופס a / 0, a ≠ 0 a = +∞ a = −∞ לא ניתן להשאיר מוגדר מאז מנה והוליד ביטוי כזה יהיה תמיד לסטות.

הביטוי 0 ^∞ אינו צורה בלתי מוגדרת. לביטוי 0 ^{+ ∞} יש את הערך המגביל 0 למגבלות הפרט הנתונות, והביטוי 0 ^−∞ שווה ל- 1/0.

כדי לראות זאת, בואו $L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},$ איפה $\lim _{x\to c}{f(x)}=0,$ ו $\lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .$ קח את הלוגריתם הטבעי של שני הצדדים: $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty },$ ו $L={e}^{-\infty }=0.$

הערכת טפסים בלתי מוגדרים

מוגדר התואר אינו מעיד כי המגבלה אינה קיימת, כמו רבים מן הדוגמות לעיל עולה. במקרים רבים ניתן להשתמש בחיסול האלגברי, הכלל של L'Hôpital או בשיטות אחרות כדי לתפעל את הביטוי כך שניתן יהיה להעריך את המגבלה.

לדוגמה, ניתן לפשט את הביטוי x ² / x ל- x בכל נקודה שאינה x = 0. לפיכך, גבול הביטוי הזה כאשר x מתקרב ל- 0 (שתלוי רק בנקודות ליד 0, לא ב- x = 0 עצמו) הוא הגבול של x, שהוא 0. ניתן להעריך את רוב הדוגמאות האחרות לעיל באמצעות פשט אלגברי.

אינפיניטסימלי שווה

כאשר שני משתנים $\alpha$ ו $\beta$ להתכנס לאפס באותה נקודה ו $\lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1$, הם נקראים אינפיניטסימלים שקולים .

נניח שיש שני אינסופי-ים שווה ערך $\alpha \sim \alpha '$ ו $\beta \sim \beta '$ . לאחר מכן תבנית:Block indent לצורך הערכת הטופס הבלתי מוגדר 0/0, נוכל להשתמש בערכי האינסוף המקבילים הבאים: תבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indentתבנית:Block indent לדוגמה: תבנית:Block indent הנה הוכחה קצרה:

נניח שיש שני אינסופי-ים שווה ערך $\alpha \sim \alpha '$ ו $\beta \sim \beta '$ . תבנית:Block indent

הכלל של L'Hôpital

הכלל של L'Hôpital הוא שיטה כללית להערכת הטפסים הבלתי מוגדרים 0/0 ו- ∞ / ∞. כלל זה קובע כי (בתנאים מתאימים) תבנית:Block indent כאשר f ' ו- g ' הם הנגזרות של f ו- g . (שים לב כי כלל זה אינו חל על ביטויים ∞ / 0, 1/0 וכן הלאה; ביטויים אלה אינם צורות בלתי מוגדרות. ) נגזרות אלה יאפשרו לאחת לבצע פישוט אלגברי ולבסוף להעריך את המגבלה.

ניתן להחיל את הלכה של L'Hôpital גם על צורות בלתי מוגדרות אחרות, בעזרת תחילה טרנספורמציה אלגברית מתאימה. לדוגמה, כדי להעריך את הטופס 0 ⁰ : תבנית:Block indent הצד הימני הוא בעל הצורה ∞ / ∞, ולכן הכלל של L'Hôpital חל עליו. שימו לב שמשוואה זו תקפה (כל עוד מוגדר הצד הימני) מכיוון שהלוגריתם הטבעי (ln) הוא פונקציה רציפה ; לא רלוונטי עד כמה f ו- g מתנהגים היטב (אולי לא) כל עוד f חיובי באופן אסימפטוטי.

למרות שהכלל של L'Hôpital חל הן על 0/0 והן על ∞ / ∞, אחת מהצורות הללו עשויה להיות מועילה יותר מהשנייה במקרה מסוים (בגלל האפשרות לפשט אלגברי לאחר מכן). ניתן לשנות בין צורות אלה, במידת הצורך, על ידי הפיכת f / g ל- (1 / g ) / (1 / f ).

רשימת צורות בלתי מוגדרות

הטבלה הבאה מפרטת את הצורות הבלתי מוגדרות הנפוצות ביותר ואת התמורות ליישום הכלל של l'Hôpital.

צורה בלתי מוגדרת	תנאים	טרנספורמציה ל- 0/0	טרנספורמציה ל- ∞ / ∞
$0/0$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty /\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$

ראה גם

• מוגדר ולא מוגדר
• חלוקה באפס
• שורה מורחבת של מספרים אמיתיים
• הכלל של L'Hôpital

הפניות

[[קטגוריה:דפים עם תרגומים שלא נסקרו]]