משתמש:נוי/ארגז חול/השערת רימן

השערת רימן היא מהבעיות הפתוחות הבולטות ביותר בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל. את ההשערה העלה בשנת 1859 המתמטיקאי ברנרד רימן, מגדולי המתמטיקאים של אותה עת. רימן עסק בבעיה בעצמו עד למותו שבע שנים מאוחר יותר, אך לא הצליח להוכיחה, כמו גם רבים מהמתמטיקאים הבולטים מאז ועד היום. להשערת רימן קשר עמוק להתפלגות של המספרים הראשוניים.

השערת רימן היא אחת ההשערות החשובות בתורת המספרים. היא קשורה למספרים מרוכבים, סיכום סדרות אינסופיות, ולכל חמשת המספרים החשובים המופיעים בזהות אוילר. היא השפיעה על תחומים רבים בעולם החוץ מתמטי, מפענוח האניגמה עד להתנהגותם של אטומים, ורעיונות מתמטיים רבים מבוססים על ההנחה שהיא נכונה.

המתמטיקה של השערת רימן

גרף של פונקציית זטא עבור s>1 ממשי

פונקציית זטא היא פונקציה, שגרסתה פונקציית זטא של רימן מהותית להשערת רימן. אם יוצב בפונקצייה המספר אחד התוצאה תהיה $\zeta (1)=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{3^{1}}}+\cdots$ עד אינסוף, אם יוצב בפונקצייה 2 תתקבל התוצאה תהיה $\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots$ עד אינסוף וכך הלאה. למעשה, הסדרה עוסקת בחזקות שליליות שכן $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$.

למרות שבסדרה יש אינסוף איברים, היא לעתים מתכנסת למספר סופי. המספר שאליו מתכנסת הסדרה הוא מספר שסכום הסדרה מתקרב אליו ככל שמתווספים לו איברים, אך היא לא תעבור אותו לעולם. כך למשל, במקרים שהצגנו קודם, לאחר הצבת 1 יתקבל הטור ההרמוני והפונקצייה תתבדר לאינסוף, ולאחר הצבת 2 היא תתכנס ל${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (כפי שהוכיח לאונרד אוילר). התברר שכשמציבים בפונקציה מספר קטן או שווה מ-1 היא תתבדר לאינסוף, וכשמציבים מספר גדול מאחד היא תתכנס.

פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים s על-ידי $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$. המספרים המרוכבים הם מספרים מהצורה $\ a+ib$, כאשר $\,a$ ו-$\,b$ הם מספרים ממשיים, ו-$\ i$ הוא שורש ריבועי של מינוס אחד. כלומר, פונקציית זטא של רימן היא גרסה של פונקציית זטא שבה ניתן להציב מספרים מרוכבים. למעשה זוהי המשכה אנליטית של פונקציית זטא; זוהי נוסחה שונה מזו של הפונקציה שבתחום שבו הפונקציה מתכנסת היא מתכנסת לאותם מספרים ובתחום בו הפונקציה מתבדרת היא מתכנסת למספרים אחרים. במידה והיו משאירים את הנוסחה הקודמת על כנה, היא הייתה מתכנסת רק עבור מספרים בעלי חלק ממשי ("$\,a$") גדול מאחד- מספרים ממשיים הם למעשה מספרים מרוכבים מהצורה $\ a+ib$, כאשר b שווה לאפס, ולכן הכלל הזה תקף לגביהם.

לעתים קורה שפונקציית זטא של רימן מתכנסת לאפס. יש שתי קבוצות של מספרים בהן זה קורה. אחת מהן היא המספרים הזוגיים השליליים ($\ s=-2,-4,-6,\dots$), והמספרים בה מכונים "אפסים טריוויאליים". השנייה היא קבוצה הכוללת רק מספרים מרוכבים. השערת רימן גורסת כי כל המספרים המרוכבים שנכללים בקבוצה הזאת הם בעלי חלק ממשי ("$\,a$") שווה ל½. הקו הדמיוני שניתן לסמן על מישור המספרים המרוכבים, שבו נמצאים המספרים שהחלק הממשי שלהם שווה לחצי, מכונה "הקו הקריטי".

בכל אופן, ידוע שהמשוואה מתאפסת רק כשs נמצא ב"רצועה הקריטית" בין 1 ל0. חשוב לציין שרצועה זו היא סימטרית, בשל המשוואה הפונקציונלית של פונקציית הזטא של רימן:

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

שקושרת את הערך שלה ב- s לערך שלה ב- $\ 1-s$.

השערת רימן והמספרים הראשוניים

השערת רימן קשורה למספרים הראשוניים קשר הדוק. לפני שמשפט המספרים הראשוניים הוכח, נמצאה הוכחה שתלויה בכך שהשערת רימן נכונה. לבסוף נמצאה הוכחה שמבוססת על שימוש בפונקציית זטא, בשל כך שאף אפס לא יעבור את הקו הקריטי של המספר 1. למעשה, באופן אינטואיטיבי, הוכחת השערת רימן יכולה להסביר מדוע המספרים הראשוניים מתפלגים בצורה כה אקראית.

משפט המספרים הראשוניים קובע כי מספר המספרים הראשוניים הקטנים מ-X הוא בערך ${\frac {x}{\ln(x)}}$, או ליתר דיוק, שההשערה הזו הולכת ונעשת מדויקת יותר ויותר ככל ש-X גדל. לוגריתם של X בבסיס e, המכונה גם לוגריתם טבעי, הוא התשובה לשאלה - e בחזקת איזה מספר שווה ל-X. השגיאות בנוסחה, שהולכות ומצטמצמות, מוכתבות על ידי האפסים הלא טריוויאליים בפונקציית זטא של רימן.

כדי להמחיש את הנקודה, ניתן לדמיין מכונה המגרילה כדורים באופן אקראי, בעלת מספר אינסופי של כדורים (מספרים) בתוכה. אחד מכל ${\frac {x}{\ln(x)}}$ כדורים הוא אדום, כלומר ראשוני, ושאר הכדורים כחולים, כלומר פריקים. על פי תורת ההסתברות, ההבדל בבחירה אקראית הוגנת בין היחס בין הכדורים למספר הכדורים שיצאו, תהיה בסדר גודל השורש הריבועי של מספר הכדורים שהוגרלו. אפס על קו החצי יוצר שגיאה של $\ X^{1/2}$, כלומר השורש הריבועי של X.

היסטוריה

(לפצל לפרק נפרד ניסיונות לגילוי והפרכה לעומת רקע והצגת ההשערה?)

הצגת ההשערה

רימן הציג את ההשערה במאמר בן עשרה עמודים שהופיע בהודעות החודשיות של האקדמיה בברלין. ההשערה נמצאת בו כמעט כדרך אגב במאמר שעסק בעיקר במשפט המספרים הראשוניים, שלא הוכח בזמנו. רימן, למרות שחשב כי "סביר מאוד" שכל האפסים נמצאים על הקו הקריטי, הודה כי הוא לא התאמץ במיוחד להוכיח את השערתו: "ברור שדרושה הוכחה מדוקדקת של זה, אבל הנחתי בצד את החיפוש אחר הוכחה שכזאת לאחר כמה ניסיונות-שווא קצרי ימים, כיוון שאין היא הכרחית לצורך השגת המטרה המיידית של המחקר שלי". הצגת השערה לא מוכחת נדירה אצל רימן, שנודע כמתמטיקאי פרפקציוניסט הדורש מעצמו הוכחות מדויקות. פרפקציוניזם זה גם כנראה גרם לרימן לא לפרסם את ההוכחה שטען שיש בידו לכך שרוב האפסים נמצאים על הקו הקריטי בטענה שהיא אינה מוכנה לפרסום, הוכחה שלא נמצאה עד היום, לא בעיזבונו של רימן ולא על ידי מתמטיקאי אחר (כיום השיא הוא הוכחה כי 40% מן האפסים נמצאים על הקו הקריטי).

אין אפסים מעבר למספר 1

בשנת 1885, כשההשערה עוד לא זכתה למעמד לו היא זוכה כיום וחשיבותה הייתה כמעט אך ורק בשל הצורך בהוכחת משפט המספרים הראשוניים (שהוכח קודם שאם השערת רימן נכונה הוא נכון), טען המתמטיקאי ההולנדי תומאס סטילצ'ס שמצא הוכחה להשערת רימן. סטילצ'ס לא היה אדם שנראה שיפתור את ההוכחה, אך הוכחתו זכתה להתייחסות מצד המתמטיקאי הצרפתי המכובד שארל הרמיט, שהתכתב איתו באופן קבוע על נושאים מתמטיים (432 מכתבים ב12 שנים). למרות זאת, סטילצ'ס לא סיפק אף ראיה לכך שהוא אכן הוכיח את המשפט גם לאחר 5 שנים מהכרזתו זו וטען שההוכחה עדיין לא מוכנה לפרסום. הרמיט המתוסכל, בנסיונו לשמוע את ההוכחה, הציע שהפרס הגדול במתמטיקה של האקדמיה בפאריז יוקדש להוכחת משפט המספרים הראשוניים של גאוס.

כדי לזכות בפרס, סטילצ'ס לא נדרש להוכיח את השערת רימן. כל שהוא נדרש לעשות הוא להוכיח שלא היו אפסים לא-טריוויאליים מעבר למספר 1. הישג כזה יספיק כדי להוכיח את השערת המספרים הראשוניים. למרות שהאתגר אמור להיות פשוט עבור מי שפתר את השערת רימן, סטילצ'ס לא סיפק הוכחה.

מי שכן הגיש הצעה להוכחה היה ז'אק אדמר, סטודנט של הרמיט. הוא לא הגיע להוכחה מלאה, אך עקב רעיונותיו הוא קיבל את הפרס. עד 1896 הוא השלים את ההוכחה, והוכיח שלא יהיו אפסים מעבר לגבול שעבר ב-1 (כלומר- החלק הממשי של האפס לא יהיה גדול מ-1). עם זאת, הוא הודה שהישגיו לא השתוו לאלו של סטילצ'ס, שעד יום מותו בשנת 1894 טען כי יש בידו הוכחה להשערת רימן. פחות או יותר באותו הזמן מצא גם שארל דה לה ואלה פוסן הוכחה דומה למשפט המספרים הראשוניים.

באותה תקופה השערת רימן החלה לתפוס את מקומה כבעיה מתמטית חשובה, ופתרון השערת המספרים הראשוניים בזכותה תרם להוקרה זו. התקווה הייתה שהוכחת משפט המספרים הראשוניים תוביל להוכחת השערת רימן, כלומר שההוכחה לפיה האפסים לא יעברו את קו ה1 יוכיח שהם ישארו על קו החצי.

השערת רימן והילברט

הילברט

באוגוסט 1900 המתמטיקאי דויד הילברט הציג בהרצאה רבת צופים 10 בעיות מתמטיות שהיו פתוחות דאז, ושהוא חשב שהן מהחשובות בין הבעיות המתמטיות של זמנו. אחת מהן, הבעיה השמינית, שילבה 2 השערות לגבי המספרים הראשוניים- השערת גולדבך (כל מספר זוגי גדול מ4 אפשר לכתוב כסכום של שני מספרים ראשוניים אי זוגיים) והשערת רימן. לאחר מכן, הילברט פירסם עוד 13 בעיות, והן נודעו כ23 הבעיות של הילברט.

הילברט נודע בהערצתו להשערת רימן. בראיון איתו הוא טען שהשערת רימן היא הבעיה החשובה ביותר "לא רק במתמטיקה אלא בכלל". הוא גם אמר ש"אם אתעורר לאחר שינה בת אלף שנה, שאלתי הראשונה תהיה: האם הוכיחו כבר את השערת רימן?".

השערת רימן, מלבד הפופולאריות שזכתה לה בעקבות הכללתה ברשימת הבעיות, גם הוכיחה את חשיבותה. ברשימה נכללו כמעט אך ורק בעיות גדולות, חלקן לא ברורות וחלקן כלליות למדי, והשערת רימן קיבלה מעמד של בעיה כזו. הילברט לא התחשב בשיקולים היסטוריים או אסטתיים, ואף המשפט האחרון של פרמה לא הוכלל ברשימה, במפתיע. הוא תפס את השערת רימן כחשובה במיוחד למתמטיקה.

בשלב מסוים תקוותו של הילברט נראתה קרובה מתמיד למימוש. אחד הסטודנטים שלו טען שיש בידו הוכחה להשערת רימן. הילברט מצא פגם בהוכחה, אך הוא העריך אותה. מסופר עליו, אם כי אמינותו של הסיפור לא ברורה, שבהלוויתו של הסטודנט הוא פירט את ההוכחה השגויה בפירוט רב, בפני משפחתו וחבריו חסרי הידע המתמטי.

לאחר מותו של חברו הטוב של הילברט, המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי, התפנתה משרה באוניברסיטת גטינגן, והילברט מינה את המתמטיקאי אדמונד לנדאו לתפקיד. לנדאו החל לשתף פעולה עם הראלד בוהר, וביחד הם הגיעו להתקדמות חשובה ביחס להשערה. הם הוכיחו שרוב האפסים נמצאים על רצועה צרה בין 0.5 לX+0.5, לא משנה מהו גודלו של X. למרות זאת, הדבר לא הוכיח, בניגוד לאינטואיציה, שרוב האפסים נמצאים על קו החצי. לנדאו גם כתב את הספר החשוב בנושא "המדריך תיאוריה על התפלגותם של המספרים הראשוניים".

הרדי, ליטלווד ורמאג'ואן

בזמן ההתקדמות הגדולה בגטינגן, המתמטיקה בבריטניה קפאה על שמריה ולא ייחסה מקום מרכזי למספרים מרוכבים בכלל ולהשערת רימן בפרט. לכן היה מפתיע לשמוע שדווקא מתמטיקאי בריטי, גודפרי הרולד הארדי, עשה את פריצת הדרך הבאה בנושא השערת רימן. הוא גילה שחייבים להיות אינסוף אפסים על קו החצי. גילוי זה לא הוכיח את ההשערה, שכן יכולים להיות גם אפסים שאינם על הקו, אך הוא פסל את האפשרות שמספרם סופי.

הרדי, מוקסם מהבעיה, התחיל לעסוק בה באופן אינטנסיבי. בגלויה לראש השנה ששלח לידידיו הוא הציג אותה בראש רשימת שאיפותיו לשנה הבאה:

1) להוכיח את השערת רימן.

2) לבצע 211 [המספר הראשוני הראשון אחרי 200] הקפות בלי להיפסל בסיבוב הרביעי במשחק הגמר באובאל.

3) למצוא טיעון נגד קיומו של אלוהים שישכנע את הציבור.

4) להיות האדם הראשון על פסגת האוורסט.

5) להיות הנשיא המוצהר הראשון של ברית-המועצות, בריטניה וגרמניה.

6) לרצוח את מוסוליני.

כשאר משאלותיו, הוכחת השערת רימן הייתה מטרה קשה מאוד להשגה, אך כמותן, מי שיבצעה יזכה להיות זכור שנים רבות.

ב1910 הרדי החל שותפות עם המתמטיקאי ג'ון אדנזור ליטלווד. זמן מה לפני שהם נפגשו, ליטלווד, שסיים זה עתה תואר ראשון, ביקש ממורו ארנסט בארנס בעיה מתמטית מופשטת וקשה שתהווה לו אתגר במשך פגרת הקיץ. מורו הציע לו את השערת רימן, בלי לפרט על ההיסטוריה של הבעיה. המתמטיקה בבריטניה באותה תקופה הייתה לא מפותחת, ולכן המורה יכל להציע לתלמיד את הבעיה ללא כל קושי. לאחר זמן מה של עבודה, ליטלווד הצליח להראות תכונה מעניינת של הפונקצייה- הקשר בינה לבין המספרים הראשוניים. הוא סיפר על "תגליתו" בבקשת מילגה למחקר בטרינטי קולג'. הרדי ידע שהתגלית אינה מקורית, הוא התרשם מכישוריו של ליטלווד. ליטילווד הצטרף למכללת טריניטי ב1910, ואז גם החל לשתף פעולה עם הרדי.

הרדי וליטווד החלו שותפות פוריה. באותה תקופה, ליטווד עשה פריצת דרך לגבי משפט המספרים הראשוניים. גאוס שיער כי הערכתו לגבי מספר הראשוניים תמיד תגרום לאומדן יתר במספר המספרים הראשוניים. ליטווד הוכיח שלא כך הדבר, אף על פי שלא מצא מספר שיראה זאת. השערת גאוס אומתה עבור עשרה מליון המספרים הראשונים, ולכן הפרכתה גרמה לפקפוק בתקפותן של הראיות המספריות הרבות שהצטברו לטובתה של השערת רימן.

זמן לא רב לאחר מכן, הרדי וליטווד קיבלו מכתב מהאוטודידקט ההודי העני סריניוואסה רמנוג'אן. נוסחאותיו המבולבלות ולרוב גם חסרות ההוכחה נראו ממבט ראשון כשל משוגע, אך במבט שני נראה היה כי הוא גאון.

לקריאה נוספת

• מרכוס דו סוטוי, המוזיקה של המספרים הראשוניים, הוצאת ידיעות אחרונות, 2006.