משתמש:Yaniv.mental/בסיס לא שלם

בסיס לא שלם (חלקי) - זהו בסיס מספרי אשר ערכו שייך לקבוצה המספרים הרציונליים החיוביים.

למעשה בסיס חלקי (לא שלם) זהו הרחבה של בסיס שלם,בסיס שלם בהגדרתו זה כמות הספרות לפני המספר הדו ספרתי הראשון, כאשר כל מספר אחרי הספרות הללו מורכב מהספרות הללו.

לדוגמה : בבסיס 10 (בסיס דצימלי) ישנם 10 ספרות לפני המספר הדו ספרתי הראשון (בבסיס 10 המספר הדו ספרתי הראשון הוא 10, לפניו יש 10 ספרות [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9], וכל מספר בבסיס זה יהיה מורכב מ10 הספרות האלה).

בסיס שלם

כפי שצוין לפני כן בסיס שלם בהגדרתו הבסיסית זה כמות הספרות לפני המספר הדו ספרתי הראשון, בדרך כלל אנו משתמשים בבסיס 10 (בסיס דצימלי), זהו הבסיס בו אנו סופרים ומבצעים בו את רוב המתמטיקה שלנו.

ישנם עוד בסיסים בהם אנו משתמשים בנושאים אחרים :

• בסיס בינארי (בסיס 2).
• בסיס אוקטלי (בסיס 8).
• בסיס הקסדצימלי (בסיס 16) (בבסיס זה יש תוספת של ספרות, המספר הדו ספרתי הראשון הוא 10 כמות הספרות לפני המספר 10 היא 16 והספרות הם :
  [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F]

בהינתן מספר לא בבסיס דצימלי, כדי לדעת מה ערך המספר בבסיס דצימלי (בבסיס 10) צריך להשתמש במשוואה הבאה :
כאשר נגדיר כי M זה מספר הספרות במספר,$x_{n}$ זה הספרה במקום הn מימין לשמאל כאשר מיקום הספרה הראשונה היא 0,B הוא הבסיס בו אנו נמצאים.

$\sum _{n=0}^{M-1}x_{n}*B^{n}=x_{0}*B^{0}+x_{1}*B^{1}+x_{2}*B^{2}+x_{3}*B^{3}+...+x_{n}*B^{n}$

לדוגמה : ננסה להמיר את המספר 276 בבסיס אוקטלי (8) לבסיס דצימלי :

$[276]_{8}=[\sum _{n=0}^{3-1}x_{n}*8^{n}=x_{0}*8^{0}+x_{1}*8^{1}+x_{2}*8^{2}+x_{3}*8^{3}+...+x_{n}*8^{n}]_{10}=[6+7*8^{1}+2*8^{2}]_{10}=[190]_{10}$

לכן אנו רואים כי 276 בבסיס 8 שווה ל190 בבסיס 10.

נגדיר את הפונקציה $base(x)$ שמקבלת מספר x המסמל בסיס מסוים, ומחזירה קבוצה של כל הספרות במספר.
לדוגמה : $Base(10)=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]$ ועוצמת הקבוצה שמסומנת כך |(Base(10)| היא כמות האיברים בקבוצה, במקרה זה 10
נמצא נוסחה כללית כאשר הבסיס שלם :

$Base(x)=[0,1,2,3,4,5,6,...,x-1]$

$|Base(x)|=x$

בסיס לא שלם (חלקי)

בסיס לא שלם זהו בסיס שניתן לייצגו כשבר (בסיס לא שלם חייב להיות מספר השייך לקבוצת המספרים הרציונלית החיוביים (לא כולל 0))
בסיס שלם אנו מסמנים כ$x$
בסיס לא שלם אנו נסמן כ$x{\frac {a}{b}}$ כאשר זהו מספר מעורב והשבר בו הוא שבר מצומצם (שבר אמיתי).

נוסחאות כלליות :

$Base(x{\frac {a}{b}})={\begin{bmatrix}0{\frac {0}{b}}&0{\frac {1}{b}}&0{\frac {2}{b}}&0{\frac {3}{b}}&...&0{\frac {b-1}{b}}\\1{\frac {0}{b}}&1{\frac {1}{b}}&1{\frac {2}{b}}&1{\frac {3}{b}}&...&1{\frac {b-1}{b}}\\2{\frac {0}{b}}&2{\frac {1}{b}}&2{\frac {2}{b}}&2{\frac {3}{b}}&...&2{\frac {b-1}{b}}\\3{\frac {0}{b}}&3{\frac {1}{b}}&3{\frac {2}{b}}&3{\frac {3}{b}}&...&3{\frac {b-1}{b}}\\...&...&...&...&...&...\\x{\frac {0}{b}}&x{\frac {1}{b}}&x{\frac {2}{b}}&x{\frac {3}{b}}&...&x{\frac {a-1}{b}}\end{bmatrix}}$

$|Base(x{\frac {a}{b}})|=b*x+a$

מספר מייצג

מספר מייצג הוא סוג של שיטה לייצוג מספר שאיננו בבסיס שלם, לכל מספר ניתן למצוא מספר מייצג אבל כאשר אנו מנסים למצוא מספר מיצג למספרים בבסיס שלם, המספר המייצג יהיה שווה למספר שניסינו למצא לו מספר מייצג.
אבל כאשר מדובר במספר בבסיס לא שלם המספר המיצג יהיה שונה מהמספר עצמו.
כיוון שלמספר בבסיס לא שלם יש ספרות לא שלמות אנו צרכים את המספר המייצג כדי לקרוא אותו מבחינה מתמטית.
לדוגמה : למספר בבסיס $1{\frac {1}{2}}$ יכולה להיות ספרה שהיא ${\frac {1}{2}}$, למשל המספר $[1{\frac {1}{2}}1]_{1{\frac {1}{2}}}$ (ספרת היחידות היא 1, ספרת העשרות היא 0.5, וספרת המאות היא 1). מספר כזה אנחנו לא יכול לקרוא, זהו מספר לא מוגדר מבחינה מתמטית לכן אנחנו צרכים למצוא לו מספר מייצג.
כדי למצוא למספר כלשהו מספר מייצג אנחנו צרכים להחליט באיזה בסיס נרצה לייצג אותו, בדרך כלל כאשר נרצה למצוא למספר מסוים מספר מייצג נמצא מספר מייצג בבסיס 10.
כדי למצוא מספר מייצג נשתמש בהגדרה הבאה (כאשר $x_{n}$ הוא ספרה במספר במיקום בn מימין לשמאל,כאשר מיקום הספרה הראשונה היא 0 וB הוא הבסיס שלפיו נייצג את המספר) :

$x_{n}={\frac {x_{n-1}}{B}}$

לדוגמה : בהינתן המספר המוזר "${\frac {1}{2}}0$" ננסה לייצג את המספר בבסיס 10 (שימו לב !, כאשר אנו מייצגים מספר בבסיס 10 אנחנו לא ממירים את המספר לבסיס 10, אלה מוצאים מספר מייצג בבסיס 10)
$x_{1}={\frac {1}{2}}$,$x_{0}=0$
נפעיל את הנוסחה :
$x_{0}=x_{1}*10={\frac {1}{2}}*10=5$
והמספר שנוצר לנו הוא 05, לכן המספר המייצג בבסיס 10 של המספר "${\frac {1}{2}}0$" הוא 5. ניתן לרשום זאת כך : $[{\frac {1}{2}}0]=[5]^{10}$

קודם לכן היה לנו את המספר $[1{\frac {1}{2}}1]_{1{\frac {1}{2}}}$ ננסה לייצג בבסיס 10 :
$x_{0}=1$, $x_{1}={\frac {1}{2}}$, $x_{2}=1$
נשתמש בנוסחה :
$x_{0}=x_{0}+x_{1}*10=1+{\frac {1}{2}}*10=6$
לכן המספר שיוצא הוא 106 והוא המספר המייצג של $[1{\frac {1}{2}}1]_{1{\frac {1}{2}}}$, ניתן לרשום זאת כך $[1{\frac {1}{2}}1]_{1{\frac {1}{2}}}=[106]_{1{\frac {1}{2}}}^{10}$. כדי להמיר מספר מייצג למספר האמיתי, צריך לדעת באיזה בסיס היא המספר האמיתי לכן תמיד רושמים במספק המייצג את הבסיס הקודם שלו ואת הבסיס הנוכחי, כדי להמיר אנו רואים איזה ספרות במספר אינם שייכות לבסיס הקודם ואז אנו מנסים לשנות אותם כך שיתאימו לבסיס הקודם.
לדוגמה : $[106]_{1{\frac {1}{2}}}^{10}$, הבסיס הקודם שלו הוא 1.5 נבדוק איזה מן הספרות לא יכול להתקיים בבסיס 1.5, הספרה 6 לא יכולה להתקיים בבסיס 1.5 (לפי הגדרת הבסיס חלקי), לכן נשתמש הנוסחה כדי להפוך את המספר חזרה : על ידי כך שנעביר 5 מספרת היחידות לעשרות ונשתמש בנוסחה :
$x_{1}=5/10={\frac {1}{2}}$
ולכן המספר שאנו מקבלים הוא : $[1{\frac {1}{2}}1]_{1{\frac {1}{2}}}$.

פעולות האריתמטיות

הפעולות שאנו יכולים לעשות על המספר המייצג הם רק :

• חיבור (+)
• חיסור (-)

לדוגמה :
למשל יד לנו שני מספרים $[1{\frac {1}{2}}]_{1{\frac {1}{2}}}$,$[1{\frac {1}{2}}1]_{1{\frac {1}{2}}}$
נמצא את המספרים המייצגים שלהם :
$[1{\frac {1}{2}}]_{1{\frac {1}{2}}}=[10.5]_{1{\frac {1}{2}}}^{10}$,$[1{\frac {1}{2}}1]_{1{\frac {1}{2}}}=[106]_{1{\frac {1}{2}}}^{10}$
נחבר ביניהם : 10.5+106=116.5
נמיר אותו למספר האמיתי :
$[116.5]_{1{\frac {1}{2}}}^{10}=[1{\frac {1}{2}}10]_{1{\frac {1}{2}}}$
וזוהי התוצאה - שני המספרים שבחרנו קודם הם 2 ו4 בבסיס דצימלי, והתוצאה שיצאה לנו היא 6 בבסיס דצימלי וזה נכון כי 2+4=6, תוכלו לבדוק זאת ע"י המרת כל אחד מן המספרים לבסיס דצימלי.

הפעולות שאנו יכולים לעשות על המספרים עצמם הם :

• כפל (*)
• חילוק (\)

המרות מבסיס דצימלי לבסיסים שונים

יש נו אלגוריתם להמרה מבסיס דצימלי לבסיס x (כאשר x יכול להיות בסיס שלם וגם לא שלם).

יש לחלק את המספר הנתון בבסיס 10 בבסיס אליו שואפים להמיר
את החלק השלם של התוצאה ממשיכים לחלק עד לקבלת תוצאה = 0, ואילו את החלק העשרוני שהתקבל כופלים בבסיס שאליו ממירים ומקבלים את ספרת ההמרה.
דוגמה :

$[342]_{10}{\longrightarrow }[x]_{8}$

$342/8=42.75{\longrightarrow }0.75*8=6{\longrightarrow }x_{0}$

$42/8=5.25{\longrightarrow }0.25*8=2{\longrightarrow }x_{1}$

$5/8=0.625{\longrightarrow }0.625*8=5{\longrightarrow }x_{2}$

לכן כפי שאנו רואים המספר 342 בבסיס 10 שווה ל526 בבסיס 8.

קישורים

• מעבר בסיסים, הנדסת אלקטרוניקה ומחשבים(אורט)