ניווט מקבילי

ניווט מקבילי (באנגלית: Parallel Navigation),שנקרא גם כלל הזווית הקבועה (constant bearing rule), הוא כלל גאומטרי שימושי בניווט ובהנחיית טילים, שמאפשר יירוט מטרה אינרציאלית בזמן מינימלי. כלל ניווט שימושי זה היה ידוע מאז ימי קדם, בעיקר על ידי ימאים, ומכאן חלק ה-"ניווט" בשם. לפי כלל זה, הכיוון של קו הראייה MT (LOS – Line-of-Sight) שמחבר בין הנווט והמטרה צריך להישמר קבוע יחסית למרחב האינרציאלי, כלומר כיוון קו הראייה נשמר מקביל לכיוונו ההתחלתי, ומכאן החלק ה-"מקבילי" של השם.

טיל ומטרה על מסלול התנגשות. הטיל מנווט בהתאם לכלל הניווט המקבילי, לכן קו הראייה נותר מקביל לעצמו במהלך התנועה.

בטרמינולוגיה של וקטורים תלת־ממדיים, הכלל נקבע במדויק כ-:

$w=0$

כש-w הוא קצב הסיבוב של קו הראייה. ניסוח שקול של הכלל הגאומטרי הזה הוא:

$r\times r'=0$, שכן $r\times r'=r*w^{2}$. מן הניסוח השני נובע שכלל גאומטרי זה ניתן לניסוח בדרך נוספת, ש-r' ו-r חייבים להימצא על ישר אחד. במילים אחרות, עצם הצופה בנווט הנע לפי כלל הניווט המקבילי יראה אותו מתקרב אליו מזווית קבועה (מכאן השם הנוסף כלל הזווית הקבועה), ובמהירות קבועה, ללא שינויי זווית.

קינמטיקה של תרחישים מישוריים

כש-$v_{M},v_{T}$ ו-r הם על אותו מישור (מישור קבוע) לפי ההגדרה, הכלל הגאומטרי של ניווט מקבילי ניתן לכתיבה כך

${\dot {\lambda }}=0$,

כש-$\lambda$ היא הזווית שקו הראייה יוצר עם קו ייחוס שנח במישור הנ"ל, כאשר בנוסף נדרש התנאי ${\dot {r}}<0$.

המשוואות ל-${\dot {r}}$ ו-${\dot {\lambda }}$ הן:

${\dot {r}}=v_{T}cos\theta -v_{M}cos\delta$

${\dot {\lambda }}={\frac {v_{T}sin\theta -v_{M}sin\delta }{r}}$.

על מנת שיתקיים ${\dot {\lambda }}=0$ המשוואה

$v_{M}sin\delta =v_{T}sin\theta$, ועל מנת ש-${\dot {r}}$ יהיה שלילי, האי שוויון $v_{M}cos\delta >v_{T}cos\theta$ צריך להתקיים.

כששני התנאים לעיל מתקיימים, תנאי התנגשות נוצרים, וניתן לשרטט משולש התנגשות שקודקודיו הם מיקומיהם ההתחלתיים של העצם המנווט והמטרה, וקודקודו הנוסף הוא נקודת ההתנגשות העתידית. עצם המטרה יראה את הנווט מתקרב אליו במהירות קבועה $v_{C}$ שנקראת מהירות הסגירה, ופוגע בו כעבור זמן $t_{f}={\frac {r_{0}}{v_{C}}}$.

תכונות

• מאי שוויון המשולש נובע שניווט מקבילי הוא אופטימלי מבחינת זמן; יירוט מושג במינימום זמן $t_{f}$, ולאחר שתנאי התנגשות מושגים, לא נדרש כלל תמרון מצד העצם המנווט. אף על פי כן, כש-T מתמרן, הן אם על ידי שינוי מהירותו או כיוון תנועתו (או שניהם), ניווט מקבילי עשוי עדיין להיות אפקטיבי אבל הוא לא יפיק באופן כללי את המסלולים הטובים ביותר עבור M; התאוצה של M תהיה שונה מ-0 רוב הזמן ויתרה מכך, המסלול המתקבל לא יהיה הקצר ביותר האפשרי.
• איזוכרונות: עבור מיקום ווקטור מהירות מטרה התחלתיים נתונים אוסף כל הנקודות אשר טיל משוגר מהם בכיוון המחושב לפי כלל הניווט המקבילי פוגע במטרה בזמן קבוע (עקומה שוות זמן) הוא מעגל ברדיוס $v_{M}*t_{f}$ עם מרכז המוזז ממיקום המטרה במרחק $v_{T}*t_{f}$ לאורך כיוון התנועה שלה. האיזוכרונות המתקבלות הם לפיכך מעגלים לא קונצנטריים.
• הלוקוס של כל נקודות היירוט המתקבלות עבור מיקומי מטרה וטיל התחלתיים הוא גם מעגל; זהו מעגל אפולוניוס המוגדר על ידי היחס $\beta =v_{M}/v_{T}$ עם מוקדים במיקומים ההתחלתיים.

קינמטיקה של תרחישים מרחביים

באיור מוראה מיקום המטרה T והיטלי וקטור המיקום $r_{0}$ על כל אחד מהצירים. היטל הנקודה T על מישור XY הוא T', ומהירותה היא $v_{T}$ בכיוון השלילי של ציר X.

בדוגמה זו נבחן תרחיש מוכלל במרחב תלת־ממדי, שבו T היא מטוס שממוקם, ברגע $t=0$, בנקודה $(x_{0},y_{0},z_{0})$, ומהירותו היא U בכיוון השלילי של ציר x. M הוא טיל שנמצא בראשית הצירים ומתחיל ניווט מקבילי מהראשית כדי ליירט אותו. המטרה היא למצוא את כיוון המעוף של M (הנקבע על ידי הרכיבים של $v_{M}$) ואת הזווית עם קו הראייה $\delta$. נפתור זאת בשתי דרכים שונות.

דרך ראשונה: שימוש באלגברה ליניארית.

ראשית נמצא את $\theta$, הזווית בין מהירות המטוס ל-MT, באמצעות מכפלה סקלרית. מתקיים:

$cos\theta ={\frac {r_{0}\cdot v_{M}}{r_{0}*v_{M}}}={\frac {x_{0}*(-U)}{r_{0}*U}}$.

לאחר מכן מוצאים את $\delta$ באמצעות התנאי להתנגשות מן הקינמטיקה של תרחישים מישוריים. הצעד הבא הוא למצוא את שלושת הרכיבים של $v_{M}$. משוואה אחת נובעת ישירות מן המכפלה הסקלרית $r_{0}\cdot v_{M}=r_{0}v_{M}cos\delta$. שתי המשוואות האחרות נגזרות מן התנאי שהמכפלה הווקטורית בין r ו-${\dot {r}}$ שווה אפס. לכן:

$r\times {\dot {r}}={\begin{vmatrix}l_{x}&x_{0}&-U-v_{M_{x}}\\l_{y}&y_{0}&-v_{M_{y}}\\l_{z}&z_{0}&-v_{M_{z}}\end{vmatrix}}=0$

כלומר הדטרמיננטה של המטריצה לעיל היא אפס.

כעת נציג ערכים נומריים לבעיה. $x_{0},y_{0},z_{0}$ הם 12, 3 ו-4 km בהתאמה, לכן $r_{0}={\sqrt {12^{2}+3^{2}+4^{2}}}=13km$. ניקח U = 250m/s ו-$v_{M}=500m/s$. המשוואה ל-$\theta$ נותנת:

$\theta =arccos{\frac {12*(-250)}{13*250}}=157.4$ מעלות. מכאן :

$\delta =arcsin{\frac {250sin\theta }{2*250}}=11.1$ מעלות. לפיכך המשוואה הראשונה לרכיבי $v_{M}$ היא:

$12v_{M_{x}}+3v_{M_{y}}+4v_{M_{z}}=13*500*cos\delta =6378.7kmm/s$.

שתי המשוואות הנוספות נגזרות מן התנאי שהמכפלה הווקטורית היא אפס והן:

${\begin{cases}z_{0}v_{M_{y}}-y_{0}v_{M_{z}}=0,y_{0}v_{M_{x}}-x_{0}v_{M_{y}}=-y_{0}U\end{cases}}$.

לפיכך מתקבלת מערכת של שלוש משוואות ליניאריות:

${\begin{cases}12v_{M_{x}}+3v_{M_{y}}+4v_{M_{z}}=6378.7,4v_{M_{y}}-3v_{M_{z}}=0,3v_{M_{x}}-12v_{M_{y}}=-750\end{cases}}$

שפתרונה הוא:

$v_{M_{x}}=1.664U,v_{M_{y}}=0.666U,v_{M_{z}}=0.888U$

דרך שנייה: שימוש בזוויות אוילר.

זה לעיתים נחוץ לבצע את חישובי ההנחיה במערכת צירים קרטזית שבה הווקטור $r_{0}$ מתלכד עם ציר ה-x ומישור ההנחיה הוא z = 0 כך שלמהירות המטרה $v_{T}$ יש רק את הרכיבים $v_{T_{x}}$ ו-$v_{T_{y}}$, לאורך ולרוחב r בהתאמה. דרך אחת לעשות זאת היא כדלקמן.

ראשית, נסובב את מערכת הצירים המקורית $(x,y,z)$ בזווית $\phi _{1}$ מסביב לציר z. אם $\phi _{1}$ היא $arctan(y/x)=arctan(3/12)=14.04$ מעלות, אז הרכיבים של r במערכת צירים החדשה $(x',y',z')$ יקיימו $y'=0,z'=z$. לאחר מכן, נסובב את מערכת הצירים החדשה מסביב לציר $y'$ בזווית $\theta _{2}$; אם הזווית הזאת נבחרת כך שתהיה שווה $-arcsin(z/r)=-arcsin(4/13)=-17.92$ מעלות, אז הרכיבים של r במערכת הצירים $(x'',y'',z'')$ יהיו $(r,0,0)=(13,0,0)$.

שתי הרוטציות האלו מתוארות על ידי מכפלת מטריצות הסיבוב הבאה:

${\begin{bmatrix}x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}c\theta _{2}&0&-s\theta _{2}\\0&1&0\\s\theta _{2}&0&c\theta _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c\phi _{1}&s\phi _{1}&0\\-s\phi _{1}&c\phi _{1}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{bmatrix}12\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}13\\0\\0\end{bmatrix}}$

כאשר c ו-s מסמלים את פונקציות הקוסינוס והסינוס, בהתאמה.

סיבוב שלישי הוא מסביב לציר $x''$, בזווית $\phi _{3}$. הווקטור $v_{T}$ במערכת הצירים הסופית ניתן על ידי המשוואה:

${\begin{bmatrix}v_{T_{x}'''}&v_{T_{y}'''}&v_{T_{z}'''}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c\phi _{3}&s\phi _{3}\\0&-s\phi _{3}&c\phi _{3}\end{pmatrix}}T_{y}(\theta _{2})T_{z}(\phi _{1}){\begin{bmatrix}-U&0&0\end{bmatrix}}$

כאשר $T_{y}(\theta _{2})$ ו-$T_{z}(\phi _{1})$ הן העתקות המייצגות את המטריצות מן המשוואה הקודמת. ההעתקה המתקבלת היא:

${\begin{bmatrix}v_{T_{x}'''}&v_{T_{y}'''}&v_{T_{z}'''}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-c\theta _{2}c\phi _{1},&c\phi _{3}s\phi _{1}-s\phi _{3}s\theta _{2}c\phi _{1},&-s\phi _{3}s\phi _{1}-c\phi _{3}s\theta _{2}c\phi _{1}\end{bmatrix}}U$

אם $\phi _{3}=-arctan(sin\theta _{2}cot\phi _{1})=50.91$ מעלות, אז $v_{T_{z}'''}=0$, לכן הזווית שיוצר וקטור מהירות הטיל עם קו הראייה היא: 50.91 מעלות באזימוט, וזווית ההגבהה היא 11.1 מעלות, והיא מחושבת באופן דומה לזה שבדרך הקודמת.

יישומים

• הכלל מיושם על ידי ימאים המעוניינים לפגוש אחד את השני בים מזה מאות שנים. M עשוי להיות ספינה קטנה ואילו T עשויה להיות למשל, ספינת תדלוק, או אם ללכת מוקדם יותר בהיסטוריה, T עשוי להיות ספינת סוחרים ו-M ספינת פיראטים. ישנו גם היישום ההפוך; כלל אצבע כדי להימנע מהתנגשויות בים - תמיד התרחק ממצב שבו ספינה נראית ב-"מיקום" קבוע אך גדלה בגודלה.
• כאשר M עושה שימוש במערכת ייחוס גאומטרית חיצונית, אז כלל גאומטרי אחר הקרוב לניווט מקבילי יכול להיות מיושם, ולפיו המסלול הנראה של T, יחסית למערכת ייחוס קבועה, הוא קו ישר. זוהי למעשה הדרך שבה שחקני בייסבול רצים כדי לתפוס כדורים שמגיעים מן האוויר. תצפיות על שחקני בייסבול מגלות כי הם רצים לאורך מסלול עקום מסוים, כשהם מתאימים את מהירותם וכיוון תנועתם כך שהם שומרים על הכדור נע במסלול אופטי ליניארי (LOT - Linear optical trajectory) יחסית לרקע, כלומר הם נעים כך שהמסלול הנראה של הכדור יהיה קו ישר. כשהם מקיימים את הכלל הזה, הם שומרים על זווית קבועה מסוימת - זוהי הזווית שנוצרת על ידי הכדור, מיקום השחקן וקו אופקי מסוים היוצא מהנקודה בה הוא נמצא, דהיינו הם שומרים על קו ראייה קבוע. תאוצת שחקן הבייסבול הנדרשת כדי ליישם כלל זה צריכה להיות קבועה בגודלה וכיוונה, ועל כן הוא משנה הן את כיוונו והן את גודל מהירותו. גודלה של תאוצת השחקן הוא $g*{\frac {sin\theta }{sin\delta }}$ ($\theta$ ו-$\delta$ הן הזוויות שיוצרים וקטור תאוצת הכובד g ווקטור מהירות השחקן עם קו הראייה), ועל כן הוא נע במסלול פרבולי במישור על מנת לתפוס את הכדור. תופעה זו נצפתה פעמים רבות במשחקי בייסבול.
• באופן דומה, דגים מסוימים וזבובי בית "עוקבים אחרי התנועה של המטרה שלהם באמצעות שמירה על "זווית אופטית" מסוימת שהיא פונקציה של כיוון התנועה של המטרה".

מקורות

• "N.A. Shneydor: "Missile guidance and pursuit