פתיחת התפריט הראשי

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.

הגדרה פורמליתעריכה

יהא   מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא   קבוצה. אם   היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות  , אז הסגור של   יסומן   או  , ויוגדר על ידי:

 .

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

  •   היא קבוצת כל האיברים של   שבכל סביבה שלהם קיים איבר של   (לא בהכרח שונה מהם).
  •  , כאשר   היא הקבוצה הנגזרת של  .
  • הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה:  .

דוגמאותעריכה

תכונות הנוגעות לסגורעריכה

  • כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה:  . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •   היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל   בתחום שלה מתקיים  . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
  • אם   קבוצה קשירה, לכל   מתקיים שגם   קבוצה קשירה.
  • קבוצה   במרחב   המקיימת   נקראת קבוצה צפופה.
  • קבוצה   במרחב   המקיימת   נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.


קישורים חיצונייםעריכה