פתיחת התפריט הראשי

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: ( הוא האיבר ה-בסדרה).
דוגמה: בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע – 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

  • – האיבר הראשון בסדרה
  • – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה
  • – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי)

לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

תוכן עניינים

נוסחאותעריכה

נוסחה לאיבר הכלליעריכה

אם   הוא האיבר הראשון, ו-  הוא ההפרש, האיבר ה-  נתון על ידי הנוסחה:  .

הוכחה לנוסחת האיבר הכללי:

  • על ידי שימוש בתכונות הטור הטלסקופי:  

החלק השמאלי של השוויון האחרון הוא טור טלסקופי, שבו כל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים:

 

 

  • על ידי שימוש באינדוקציה: כדי להוכיח את נוסחת האיבר הכללי,   נבדוק את נכונותה עבור  . במקרה זה  . נניח כעת שמתקיים   ונוכיח שמתקיים  . נשים לב שמתקיים:  , וטענה זו נכונה על פי הגדרתה.

נוסחה לסכום הסדרהעריכה

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה-  (כולל) לפי הנוסחה:

 

בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיברים הקודם והעוקב לו:

 
ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:

את הסכום של   האיברים הראשונים בסדרה:  , ניתן לרשום בשני אופנים:   

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל:

 

ולכן:

  (גם זו נוסחה שימושית במקרים רבים)

כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים:  , והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן:

 

נוסחאות נוספותעריכה

נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים:  .

הוכחת הנוסחה:

נתונה סדרה:  , כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא   (כלומר, יש   איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. מכיוון שמספר האיברים הוא זוגי, אז מספר האיברים שמיקומם (האינדקס שלהם) זוגי שווה למספר האיברים שמיקומם אי-זוגי, ומכיוון שמספר האיברים הכולל הוא  , אז ישנם   איברים שמקומם זוגי ו-  איברים שמקומם אי-זוגי. סכום האיברים הזוגיים:  

  הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית, ומכיוון שהפרש הסדרה הוא  , אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא  .

נציב   במשוואה המקורית. לאחר פישוט נקבל:  .

נעשה כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ונקבל:  .

נחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ונקבל:   מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא   ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת   איברים, נחלק את ה-  במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב   במקום  ).
נקבל:  

דוגמאותעריכה

 
הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך מספר ריבועי)
  • הסכום של הסדרה החשבונית: 1, 3, 5, ..., בעלת   איברים הוא  .
  • הסכום של הסדרה החשבונית: 2, 4, 6, ..., בעלת   איברים הוא  .

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה