סימטריית הזזה בזמן

סימטריית הזזה בזמן, או TTS (ראשי תיבות באנגלית: Time Translation Symmetry או Temporal Translation Symmetry) היא טרנספורמציה מתמטית בפיזיקה, המניעה את זמני האירועים במרווח משותף. סימטריה של הזזה בזמן היא ההשערה שחוקי הפיזיקה אינם משתנים תחת שינוי כזה. סימטריית הזזה בזמן היא דרך מתמטית לנסח את הרעיון שחוקי הפיזיקה זהים לאורך ציר הזמן, המיוצג על ידי האות t. סימטריה של הזזה בזמן קשורה קשר הדוק, באמצעות משפט נתר, לעקרון שימור האנרגיה. במתמטיקה, מכלול ההזזות בכל הזמנים במערכת נתונה יוצרות חבורת לי.

יש הרבה סימטריות בטבע מלבד הזזה בזמן, כגון הזזה מרחבית או סימטריות סיבוביות. ניתן לשבור סימטריות אלו ולהסביר תופעות מגוונות כגון גבישים, מוליכות -על ומנגנון היגס. עם זאת, חשבו עד לאחרונה כי לא ניתן לשבור סימטריה של הזזה בזמן. גבישי זמן, מצב של חומר שנצפה לראשונה בשנת 2017, סימטריה של תרגום זמן הפסקה.

סקירה כללית

לסימטריות יש חשיבות גבוהה בפיזיקה והם קשורים קשר הדוק להשערה כי כמויות פיזיות מסוימות הן רק יחסיות ובלתי ניתנות למדידה. סימטריות חלות על המשוואות השולטות על החוקים הפיזיקליים (למשל על המילטוניאן או לגראנז'יאן ) ולא על התנאים, הערכים או הגדלים הראשוניים של המשוואות עצמן וקובעות כי החוקים נותרים ללא שינוי במהלך שינוי. אם נשמרת סימטריה תחת טרנספורמציה אומרים שהיא בלתי משתנה . סימטריות בטבע מובילות ישירות לחוקי שימור, דבר המנוסח בפירוט במשפט נתר.

סימטריות בפיזיקה

סימטריה	טרנספורמציה	בלתי ניתן למדידה	חוק שימור
הזזה במרחב	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \mathbf {r}$	מיקום מוחלט בחלל	תנע
הזזה בזמן	$t\rightarrow t+\delta t$	זמן מוחלט	אנרגיה
רוטציה (סיבוב)	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} '$	כיוון מוחלט בחלל	תנע זוויתי
היפוך המרחב (שיקוף)	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	שמאל או ימין מוחלט	זוגיות
היפוך בזמן	$t\rightarrow -t$	סימן זמן מוחלט	התנוונות קרמרס
היפוך מטען	$e\rightarrow -e$	סימן מוחלט של מטען חשמלי	הצמדה של מטען
חילוף חלקיקים		יכולת הבחנה של חלקיקים זהים	התפלגות פרמי דיראק
טרנספורמציות כיול	$\psi \rightarrow e^{iN\theta }\psi$	שלב יחסי בין מצבים נורמליים שונים	מספר חלקיקים

מכניקה ניוטונית

כדי לתאר באופן רשמי סימטריה של הזזה בזמן אנו אומרים שהמשוואות, או החוקים, המתארים מערכת בנקודות זמן $t$ ו $t+\tau$ זהים לכל ערך של $t$ ו $\tau$ .

לדוגמה, בהתחשב במשוואת ניוטון:

$m{\ddot {x}}=-{\frac {dV}{dx}}(x)$

מוצאים את הפתרונות שלה $x=x(t)$, שהקומבינציה:

${\frac {1}{2}}m{\dot {x}}(t)^{2}+V(x(t))$

אינה תלויה במשתנה $t$. ערך זה מתאר את האנרגיה הכוללת שהשימור שלה נובע מהשתנות ההזזה בזמן של משוואת התנועה. על ידי לימוד ההרכב של טרנספורמציות סימטריה, למשל של אובייקטים גאומטריים, מגיעים למסקנה שהם יוצרים חבורה, וליתר דיוק, חבורת הטרנספורמציה של לי אם בוחנים טרנספורמציות סימטריות רציפות וסופיות. סימטריות שונות יוצרות קבוצות שונות עם גאומטריות שונות. מערכות המילטוניאן בלתי תלויות בזמן יוצרות חבורה של הזזות בזמן המתוארים על ידי חבורת לי האבלית הלא קומפקטית $\mathbb {R}$ . TTS היא אפוא סימטריה דינמית או תלויה המילטוניאן ולא סימטריה קינמטית אשר תהיה זהה לכל מערך המילטוניאנים הנדון. דוגמאות אחרות ניתן לראות בחקר משוואות האבולוציה בזמן של פיזיקה קלאסית וקוונטית.

משוואות דיפרנציאליות רבות המתארות משוואות אבולוציה בזמן הן ביטויים של משתנים הקשורים לחבורת לי כלשהי והתיאוריה של חבורות אלה מספקת נקודת מבט אחידה לחקר כל הפונקציות המיוחדות וכל תכונותיהן. למעשה, סופוס לי המציא את התיאוריה של חבורות לי כאשר בחן את הסימטריות של משוואות דיפרנציאליות. שילוב של משוואה דיפרנציאלית (חלקית) בשיטת הפרדת המשתנים או בשיטות אלגברת לי קשורה קשר הדוק עם קיומן של סימטריות. לדוגמה, ניתן לעקוב לאחור אחר המסיסות המדויקת של משוואת שרדינגר במכניקת הקוונטים עד לפרמטרים הרלוונטיים. במקרה האחרון, חקר הסימטריות מאפשר פרשנות של הניוון, שבו לתצורות שונות יש את אותה אנרגיה, המתרחשות בדרך כלל בספקטרום האנרגיה של מערכות קוונטיות. סימטריות רציפות בפיזיקה נוצרות לעיתים קרובות במונחים של טרנספורמציות אינסופיות ולא סופיות, כלומר מתייחסים לאלגברת לי ולא לחבורת הטרנספורמציות של לי.

מכניקה קוואנטית

האינווריאנטיות של המילטוניאן ${\hat {H}}$ של מערכת מבודדת בהזזת בזמן מרמזת שהאנרגיה שלה לא משתנה עם הזמן. שימור האנרגיה מרמז, על פי משוואות התנועה של הייזנברג, כי $[{\hat {H}},{\hat {H}}]=0$ .

$[e^{i{\hat {H}}t/\hbar },{\hat {H}}]=0$

אוֹ:

$[{\hat {T}}(t),{\hat {H}}]=0$

כאשר ${\hat {T}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }$ הוא אופרטור הזזה בזמן המרמז על השתנות של המילטוניאן במהלך פעולת הזזה בזמן ומוביל לשימור האנרגיה.

מערכות לא ליניאריות

בתיאוריות שדות לא ליניאריים רבות כמו תורת היחסות הכללית או תאוריית יאנג-מילס, משוואות השדה הבסיסיות הן מאוד לא ליניאריות ופתרונות מדויקים ידועים רק בהתפלגויות 'סימטריות מספיק' של חומר (למשל תצורות סימטריות סיבוביות או ציריות). סימטריה של הזזה בזמן מובטחת רק במרחב-זמן שבו המטריקה סטטית. כלומר, שם יש מערכת קואורדינטות שבה המקדמים המטריים אינם מכילים משתנה זמן. מערכות יחסיות כלליות רבות אינן סטטיות בכל מסגרת התייחסות ולכן לא ניתן להגדיר אנרגיה משומרת.

שבירת סימטריה של הזזה בזמן (TTSB)

גבישי זמן, מצב של חומר שנצפה לראשונה בשנת 2017, שוברים סימטריה של הזזה בזמן דיסקרטי.