על-מישור

ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב:

מרחב וקטורי

במתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, על-מישור (נקרא גם היפר-מישור) הוא הרחבה של מושג המישור למרחבים גאומטריים מכל ממד שהוא. על-מישורים יכולים להיות תתי-מרחבים של מרחבים וקטוריים, מרחבים אוקלידיים, מרחבים אפיניים, מרחבים פרויקטיביים ועוד. על-מישורים הם תמיד ביחס למרחב שבו הם נמצאים ועל כן תכונת העל-מישוריות היא תכונה יחסית.

זוג מישורים נחתכים. המישור הדו-ממדי הוא העל-מישור של המרחב התלת-ממדי

בהכללה, על-מישור הוא תת-מרחב שהקו-ממד שלו הוא 1. בשל כך, עבור מרחבים מממד סופי $n$, על-מישור במרחב הוא כל תת-מרחב מממד $n-1$. לדוגמה, עבור הישר החד-ממדי העל-מישורים הם הנקודות; עבור המישור הדו-ממדי העל-מישורים הם הישרים; במרחב התלת-ממדי העל-מישורים הם המישורים.

אחת התכונות המרכזיות של על-מישורים היא שהם חוצים את המרחב לשני חצאי-מרחבים. עובדה זו משמשת לניסוח משפטי הפרדה כמו משפט ההפרדה העל-מישורית , משפט סטון-טוקי ומשפט האן-בנך.

בתחום למידת המכונה, על-מישורים משמשים כבסיס לאלגוריתם הסיווג "מכונת וקטורים תומכים" שמאפשר סיווג של נתונים במרחב אוקלידי כלשהו.

הגדרה

ההגדרה של על-מישור משתנה בהתאם לסוג המרחב הגאומטרי שבו עוסקים.

מרחב וקטורי

בהינתן מרחב וקטורי $V$ מעל שדה $\mathbb {F}$ (לרוב $\mathbb {F}$ הוא שדה הממשיים $\mathbb {R}$) ותת-מרחב כלשהו $W\subseteq V$, $W$ ייקרא על-מישור של $V$ אם ורק אם הקו-ממד שלו ביחס ל-$V$ הוא 1. כלומר, $W$ הוא על-מישור אם ורק אם $\operatorname {dim} (V/W)=1$ כאשר $V/W$ הוא מרחב המנה של $W$ ביחס ל-$V$.

מהגדרה זו ניתן לראות שאם $W$ הוא תת-מרחב של מרחב $V$ מממד סופי $n$, אז $W$ הוא על-מישור אם ורק אם $W$ מממד $n-1$.

מרחב אוקלידי

במקרה שבו $V=\mathbb {R} ^{n}$ הוא מרחב אוקלידי עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, ההגדרה לעיל מתלכדת עם הגדרה באמצעות נורמל:

תת-מרחב $P\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ יקרא על-מישור של $\mathbb {R} ^{n}$ אם ורק אם קיים וקטור $v\in \mathbb {R} ^{n}$ כך ש-$P=\left\{u\in \mathbb {R} ^{n}\mid u\cdot v=0\right\}$. כלומר, קיים וקטור כלשהו כך ש-$P$ הוא מרחב כל הווקטורים המאונכים לו. ניתן להוכיח כי וקטור $v$ זה הוא יחיד עד כדי הכפלה בסקלר שונה מאפס.

אם מתייחסים למרחב האוקלידי כמרחב אפיני ביחס לעצמו על ידי זיהוי כל וקטור גם כנקודה, ניתן להרחיב אף יותר את ההגדרה של על-מישור ולהכיל בתוכה גם הזזות. במקרה זה, על מישור יהיה קבוצה מהצורה $P=\left\{u\in \mathbb {R} ^{n}\mid u\cdot v=c\right\}$ כאשר $v\in \mathbb {R} ^{n}$ ו-$c\in \mathbb {R}$ קבועים. ההשוואה לקבוע כלשהו $c$ במקום ל-0 מסיטה את העל-מישור.

מרחב הילברט

ניתן להרחיב את ההגדרה לעיל של על-מישור במרחב האוקלידי לכל מרחב הילברט באשר הוא. בהינתן מרחב הילבט ${\mathcal {H}}$ מעל שדה $\mathbb {F}$ עם המכפלה הפנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$, תת-מרחב ${\mathcal {H}}_{1}\subseteq {\mathcal {H}}$ ייקרא על-מישור ב-${\mathcal {H}}$ אם ורק אם קיים פונקציונל $\varphi \in {\mathcal {H}}^{*}$ כך ש-${\mathcal {H}}_{1}=\left\{u\in {\mathcal {H}}\mid \varphi (u)=0\right\}$.

אם ${\mathcal {H}}_{1}$ הוא תת-מרחב סגור אז ניתן להראות כי $\varphi$ הוא רציף ולכן בזכות משפט ההצגה של ריס קיים וקטור $u'\in {\mathcal {H}}$ כך ש-$\varphi (x)=\left\langle u,x\right\rangle$ לכל $x\in {\mathcal {H}}$. כלומר, ההגדרה של על-מישור עבור מרחבי הילברט מתלכדת עם ההגדרה של על-מישור למרחבים אוקלידים ו-${\mathcal {H}}_{1}$ הוא קבוצת כל הווקטורים המאונכים ל-$u'$.

כאמור, $u'$ יחיד עד כדי הכפלה בסקלר. נהוג לנרמל את $u'$ ביחס לנורמה המושרית של המרחב ולהגדיר ${\hat {n}}:={\frac {u'}{\|u'\|}}$. ${\hat {n}}$ הוא הנורמל של ${\mathcal {H}}_{1}$. ניתן להוכיח כי ${\hat {n}}$ יחיד עד כדי הכפלה במספר ממעגל היחידה המרוכב. במקרה שבו המרחב ${\mathcal {H}}$ הוא מעל שדה הממשיים $\mathbb {R}$, ${\hat {n}}$ יחיד עד כדי סימן.

במקרים רבים, הביטוי היפר-מישור בהקשר של מרחבי הילברט כולל הנחת סגירות.

גם עבור מרחבי הילברט ניתן להתייחס אליהם כמרחבים אפינים ביחס לעצמם כדי לכלול הזזות בהגדרת העל-מישור.

מרחב אפיני

המחשה של על-מישור אשר מוסט מראשית הצירים באמצעות הוספת וקטור. במרחבים אפיניים ניתן להסיט בצורה כזאת כל על-מישור מראשית הצירים.

בהינתן מרחב אפיני $(A,{\vec {A}})$ מעל שדה $\mathbb {F}$, קבוצה $B\subseteq A$ תקרא על-מישור של $A$ אם ורק אם היא מהצורה $b+{\vec {B}}$ כאשר $b\in A$ היא נקודה כלשהי ו-${\vec {B}}$ הוא על-מישור של ${\vec {A}}$ במונחים של מרחבים וקטוריים כפי שהוגדרו לעיל. כלומר, במרחב האפיני העל-מישור האפיני הוא בעצם על-מישור וקטורי ביחס לנקודה כלשהי $b$ שמתפקדת כראשית הצירים.

במקרה שבו המרחב האפיני הוא מממד סופי $n$, ניתן לייצג כל על-מישור כמשוואה ליניארית יחידה על הקואורדינטות האפיניות של הנקודות המרחב. כלומר, אם $A=\mathbb {A} ^{n}$ ו-$B\subseteq A$, אז $B$ הוא על-מישור ב-$A$ אם ורק אם קיימים קבועים $a_{1},\dots ,a_{n},b\in \mathbb {F}$ כך ש:

$B=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {A} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=b\right\}$

במקרה שבו $b=0$ העל-מישור עובר דרך ראשית הצירים כפי שנקבעה במערכת האפינית שלפיה נלקחו הקואורדינטות האפיניות.

מרחב פרויקטיבי

בהינתן מרחב וקטורי $V$ והמרחב הפרויקטיבי המושרה ממנו $\mathbb {P} (V)$, תת-מרחב ${\mathcal {P}}\subseteq \mathbb {P} (V)$ יקרא על-מישור אם ורק אם קיימת נקודה ב-$\mathbb {P} (V)$ שאינה ב-${\mathcal {P}}$, ושהוספה של כל נקודה כזו ל-${\mathcal {P}}$ תאפשר לפרוס את כל המרחב $\mathbb {P} (V)$. ניתן להוכיח כי אם $W\subseteq V$ הוא על-מישור ביחס ל-$V$ אז בהכרח $\mathbb {P} (W)$ הוא על-מישור ביחס $\mathbb {P} (V)$.

במקרה שבו המרחב הפרויקטיבי $\mathbb {P} (V)$ הוא מממד סופי $n$, ניתן לייצג כל על-מישור כמשוואה ליניארית הומוגנית על הקואורדינטות ההומוגניות שלה. כלומר, אם $\mathbb {P} (V)=\mathbb {P} ^{n}$ ו-${\mathcal {P}}\subseteq \mathbb {P} (V)$, אז ${\mathcal {P}}$ הוא על-מישור ב-$\mathbb {P} (V)$ אם ורק אם קיימים קבועים $a_{1},\dots ,a_{n},a_{n+1}\in \mathbb {F}$ כך ש:

${\mathcal {P}}=\left\{[x_{1}:\dots :x_{n+1}]\in \mathbb {P} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\dots +a_{n+1}x_{n+1}=0\right\}$

תכונות

על-מישורים מקבילים

במרחב אפיני $(A,{\vec {A}})$ זוג על-מישורים $B_{1},B_{2}\subseteq A$ ייקראו על-מישורים מקבילים אם ורק אם החיתוך שלהם ריק, כלומר $B_{1}\cap B_{2}=\emptyset$. נהוג לסמן זוג על-מישורים מקבילים בסימון $B_{1}\parallel B_{2}$. ניתן להוכיח שיחס ההקבלה $\parallel$ הוא יחס שקילות על כל העל-מישורים ב-$A$.

ניתן להוכיח כי זוג על-מישורים הם מקבילים אם ורק אם כל אחד מהם נוצר מהשני על ידי הזזה. כלומר, $B_{1}$ ו-$B_{2}$ הם על-מישורים מקבילים אם ורק אם קיים וקטור ${\vec {v}}\in {\vec {A}}$ כך ש-$B_{2}=T_{v}(B_{1})$ כאשר $T_{v}:A\to A$ הוא אופרטור ההזה $x\mapsto x+v$.

בנוסף, במרחבים אפיניים מתקיימת אקסיומת המקבילים בעבור על-מישורים: בהינתן על-מישור $B_{1}\subseteq A$ ונקודה מחוצה לו $b\in A\backslash B_{1}$, אזי קיים על-מישור יחיד $B_{2}\subseteq A$ כך ש-$b\in B_{2}$ ו-$B_{1}\parallel B_{2}$.

בהינתן מרחב אפיני מממד סופי $\mathbb {A} ^{n}$, ניתן להראות כי זוג על-מישורים הם מקבילים אם ורק אם הם משוואות המישור שלהן מופרדות על-ידי קבוע. כלומר, קיימים פרמטרים $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},b_{2}\in \mathbb {F}$ כך שמשוואת העל-מישור של האחד היא $a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=b_{1}$ ומשוואת העל-מישור של האחר היא $a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=b_{2}$.

עבור מרחבים וקטוריים שאינם אפינים אין משמעות לעל-מישורים מקבילים מכיוון שכל על-מישור בהכרח עובר דרך הראשית. הדבר נכון גם למרחבים פרויקטיביים שבהם כל על-מישורים אשר מקבילים במובן האפיני, נפגשים באינסוף.

מרחק נקודה מעל-מישור

בהינתן מרחב אפיני $(A,{\vec {A}})$ מעל שדה $\mathbb {F}$ שהמרחב הווקטורי שלו ${\vec {A}}$ הוא מרחב הילברט ביחס למכפלה פנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$, ניתן להגדיר מרחק של נקודה מעל-מישור. בהינתן על-מישור $B=b+{\vec {B}}$ ונקודה כלשהי $c\in A$ ניתן להוכיח כי קיים וקטור יחיד ${\vec {v}}\in {\vec {A}}$ כך ש-${\vec {v}}$ מאונך לכל הווקטורים ב-${\vec {B}}$ וש-$c+{\vec {v}}\in B$. האורך $\|{\vec {v}}\|$, שהוא האורך של ${\vec {v}}$ ביחס לנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית, נקרא המרחק של $c$ מ-$B$.

ניתן להוכיח כי המרחק של נקודה מעל-מישור הוא המרחק המינימלי מאותה נקודה לכל נקודה אחרת על העל-מישור. יתרה מכך, אם שני על-מישורים מקבילים אז המרחק מכל נקודה בעל-מישור אחד לעל-המישור השני שווה, מה שמאפשר להגדיר מרחק בין שני על-מישורים מקבילים.

חלוקה לחצאי-מרחבים

ערך מורחב – חצי מרחב

בהינתן מרחב הילברט ${\mathcal {H}}$ מעל שדה הממשיים $\mathbb {R}$ עם המכפלה הפנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ ועל-מישור ${\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {H}}$ עם נורמל ${\hat {n}}$ ניתן להגדיר את שתי הקבוצות הבאות:

${\mathcal {P}}^{+}:=\left\{v\in {\mathcal {H}}\mid \left\langle v,{\hat {n}}\right\rangle >0\right\}$

${\mathcal {P}}^{-}:=\left\{v\in {\mathcal {H}}\mid \left\langle v,{\hat {n}}\right\rangle <0\right\}$

הקבוצות ${\mathcal {P}}^{+}$ ו-${\mathcal {P}}^{-}$ יקראו חצאי-מרחבים וכשמם הם מחלקים את המרחב לשניים. כלומר, בהינתן $u\in {\mathcal {H}}$ כלשהו, ניתן להוכיח כי או ש-$u\in {\mathcal {P}}$ או ש-$u\in {\mathcal {P}}^{+}$ או ש-$u\in {\mathcal {P}}^{-}$.

עבור מרחב אפיני $(A,{\vec {A}})$ שהמרחב הווקטורי שלו ${\vec {A}}$ הוא מרחב הילברט, ניתן להשתמש בהגדרות דומות כדי להגדיר חצאי מרחבים. כלומר, בהינתן על-מישור $B=b+{\vec {B}}$ אפשר להגדיר את שני חצאי המרחבים $B^{+}:=b+{\vec {B}}^{+}$ ו-$B^{-}:=b+{\vec {B}}^{-}$ זאת כאשר ${\vec {B}}^{+}$ ו-${\vec {B}}^{-}$ מוגדרים ביחס לנורמל ${\hat {n}}$ של ${\vec {B}}$.

לחצאי מרחבים חשיבות רבה בניסוחם של מספר משפטי הפרדה.

זווית בין על-מישורים

ערך מורחב – זווית דו-מישור

בהינתן מרחב הילברט ${\mathcal {H}}$ מעל שדה $\mathbb {F}$ עם המכפלה הפנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ וזוג על-מישורים ${\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\subseteq {\mathcal {H}}$, מגדירים את זווית דו-המישור בין ${\mathcal {P}}_{1}$ ל-${\mathcal {P}}_{2}$ (נקראת גם זווית דיהדרלית) מוגדרת להיות הזווית בין שני הנורמלים לעל-מישורים ${\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2}$ בהתאמה. באמצעות אי-שוויון קושי-שוורץ ניתן להגדיר את זווית זו כך ש $\alpha :=\arccos(\left\langle {\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2}\right\rangle )$ (האורכים של ${\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2}$ הם בהכרח 1).

זווית דו-המישור מאפשרת לזהות עד כמה שני העל-מישורים קרובים זה לזה. כלומר, אם $\alpha =0^{\circ }$ שני המישורים זהים. באופן דומה, אם $\alpha =90^{\circ }$ אז שני העל-מישורים מאונכים זה לזה.

משפטי הפרדה

משפט ההפרדה העל-מישורית

המחשה ויזואלית של משפט ההפרדה העל-מישורית

משפט ההפרדה העל-מישורית קובע כי בהינתן המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ ושתי קבוצות קמורות $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ אשר זרות זו לזו, קיים וקטור $v\in \mathbb {R} ^{n}$ וקבוע $c\in \mathbb {R}$ כך ש:

• לכל $u\in A$ מתקיים ש-$v\cdot u\geq c$
• לכל $u\in B$ מתקיים ש-$v\cdot u\leq c$

המשפט נקרא משפט ההפרדה העל-מישורית מכיוון שניתן להסתכל על העל-מישור $P=\left\{u\in \mathbb {R} ^{n}\mid u\cdot v=c\right\}$ ולהבחין כי על-מישור זה מפריד את שתי הקבוצות לשני חצאי-מרחבים שונים, $A$ בחצי המרחב הראשון ו-$B$ בחצי המרחב השני.

משפט זה מהווה הבסיס לאלגוריתם האימון של מכונות וקטורים תומכים.

משפט סטון-טוקי

משפט סטון-טוקי (נקרא גם "משפט כריך הבשר") קובע כי בהינתן המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ מצויד במידת לבג וקבוצות $A_{1},\dots ,A_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ שכולן ממידה סופית, אזי קיים על-מישור $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ (לאו דווקא העובר דרך הראשית), אשר חוצה כל אחת מהקבוצות $A_{i}$ לשני חלקים שווי-מידה.

המשפט ניתן להוכחה באמצעות משפט בורסוק-אולם.

משפט העל-מישור התומך

משפט העל-מישור התומך קובע כי בהינתן המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ וקבוצה קמורה $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, לכל נקודה $x_{0}$ על השפה של $S$, קיים על-מישור $P\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ כך ש:

• $x_{0}\in P$
• $S$ מוכלת כולה באחד מחצאי המרחבים הנוצרים על-ידי $P$

מישור $P$ מסוג זה נקרא מישור תומך של $S$ בנקודה $x_{0}$.

מסקנה מיידית של משפט זה היא שכל קבוצה קמורה $S$ שווה לחיתוך כל חצאי-המרחבים הנוצרים על-ידי העל-מישורים התומכים שלה.

ראו גם

• על משטח

קישורים חיצוניים

• על-מישור, באתר MathWorld (באנגלית)