פוטנציאל וקטורי (מתמטיקה)

באנליזה וקטורית, פוטנציאל וקטורי מוגדר כשדה וקטורי שהרוטור שלו הוא שדה וקטורי נתון (באנלוגיה לפוטנציאל סקלרי, שהוא שדה סקלרי שהגרדיאנט שלו הוא שדה וקטורי נתון).

פורמלית, בהינתן שדה וקטורי v, הפוטנציאל הווקטורי A מוגדר כך ש:

$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A}$

אם השדה הווקטורי v תואם לפוטנציאל וקטורי A, אז מהשוויון:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$

(דיברגנץ של רוטור הוא אפס) מתקבל:

$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$

ומכאן נובע ש-v הוא שדה וקטורי סולנואידי.

לוגיקה

נניח כי:

$\mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$

הוא שדה וקטורי סולנואידי המוגדר באמצעות פונקציה חלקה, (v(x.

בהנחה כי (v(x יורדת במהירות כאשר ||x|| (הערך המוחלט של x) שואף לאינסוף, נגדיר:

$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y}$

אזי, A הוא פוטנציאל וקטורי לשדה הווקטורי v ומתקיים:

$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v}$

לוגיקה זו נובעת ממשפט הלמהולץ אשר קובע כי ניתן להציג כל שדה וקטורי כסכום של שדה וקטורי סולנואידי ושדה וקטורי משמר.

חופש כיול

הפוטנציאל הווקטורי של שדה וקטורי סולנואידי נתון אינו נקבע באופן ייחודי: אם A הוא פוטנציאל וקטורי לשדה הווקטורי v אזי גם הפוטנציאל $\mathbf {A} +\nabla m$ הוא פוטנציאל וקטורי לשדה הווקטורי v, כאשר m יכול להיות כל שדה סקלרי המוגדר על ידי פונקציה חלקה. הדבר נובע מהעובדה שרוטור של גרדיאנט הוא אפס ( ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}m=0$).

באלקטרודינמיקה, חוסר ייחודיות זה של הפוטנציאל הווקטורי, מוביל לדרגת חופש המאפשרת כיול של הפוטנציאל המגנטי.

ראו גם

• משפט הלמהולץ
• פוטנציאל מגנטי
• סולנואיד (מתמטיקה)

קישורים חיצוניים

• פוטנציאל וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית)