פתיחת התפריט הראשי

פולינומי לז'נדר

(הופנה מהדף פולינום לז'נדר)

במתמטיקה, פולינומי לז'נדר הם פולינומים אורתוגונלים המהווים את סדרת הפתרונות למשוואת לז'נדר:

הפולינומים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.

למשוואה זו נקודות סינגולריות רגולריות (Regular Singular Point) ב-, והיא ניתנת לפתרון בשיטת טור חזקות (שיטת פרובניוס). הנירמול הסטנדרטי הוא: .

את הפולינום ה- ניתן לחשב באמצעות נוסחת רודריגז:

פולינומי לז'נדר הראשוניםעריכה

להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  

להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1>|x|.

תכונות ומאפייניםעריכה

אורתוגונליותעריכה

סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי אורתוגונליות עבור מכפלה פנימית מסוימת (מרחב הילברט). לרוב, לכל סדרת פונקציות בנפרד יש מכפלה פנימית שונה עבורה הסדרה אורתוגונלית. המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז'נדר הם אורתוגונלים נתונה על ידי:

 

כאשר   היא הדלתא של קרונקר.

ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת תהליך גרם-שמידט עבור חזקות שלמות של   לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.

פונקציה יוצרתעריכה

הפונקציה היוצרת, של פולינומי לז'נדר היא:  

יחסי רקורסיהעריכה

בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד-צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז'נדר בעזרת נוסחה רקורסיבית, כלומר, נוסחה המחשבת פולינום מסדר מסוים בעזרת הפולינומים הקודמים לו. נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:

 

הצגה אינטגרביליתעריכה

הצגה אינטגרבילית של פולינום לז'נדר:  

שימושיםעריכה

פולינומי לז'נדר שימושיים מאוד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים. הידועים שבהם הם בתחום האלקטרוסטטיקה ותורת הקוונטים.

 

כאשר המקדמים   ו -   יקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.

  • כאשר רוצים לחשב את הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי אשר איננו נמצא בראשית מערכת צירים (במערכת קורדינאטות כדורית), ניתן לחשבו בעזרת (שימו לב שמדובר בפרופורציוניות ולא בשיויון):

 

את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז'נדר לפי הצורה הבאה:  

  • פולינומי לז'נדר משמשים גם כפתרון לחלק הזוויתי (הזווית הנפתחת מציר ה-z) של משוואת שרדינגר עבור מקרה של פוטנציאל מרכזי. במקרה זה, ישנה גם תלות במרחק מהראשית r וכן בזווית סביב ציר z (החלק האזימותלי). את התלות המשותפת בשתי הזוויות ניתן להציג בעזרת הרמוניות ספריות.

פולינומי לז'נדר הנלוויםעריכה

נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

 
עבור   נקבל את משוואת לז'נדר הרגילה. פתרון המשוואה באופן כללי מניב את פולינומי לז'נדר הנלווים   וניתן לחשב אותם בצורה הבאה על ידי שימוש בנוסחת רודריגז:
 


פולינומי לז'נדר המוכללים מהווים את החלק הזוויתי בהרמוניות הספריות, ויחס האורתוגונליות ביניהם הוא:

 

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא פולינומי לז'נדר בוויקישיתוף