פונקציה אופיינית (הסתברות)

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה אופיינית של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את ההתפלגות שלו. בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש בפונקציית צפיפות ההסתברות או בפונקציית ההצטברות. הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של צירוף ליניארי של משתנים אקראיים.

הגדרה

הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי X היא פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של e^itX, כאשר i הוא היחידה המדומה ו־t מספר ממשי שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]$

בחישוב התוחלת כאינטגרל, הפונקציה האופיינית מתקבלת כצמוד של התמרת פורייה של פונקציית צפיפות ההסתברות:

$\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx$

לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים):

$\varphi _{X}(-it)=M_{X}(t)$

בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם.

שימושים

• הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:

$\varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$

• ניתן לחשב את המומנטים (אם הם קיימים) על ידי גזירת הפונקציה האופיינית:

$\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}\,\!$

דוגמאות

התפלגות	הפונקציה האופיינית
התפלגות מנוונת δa	$\,e^{ita}$
התפלגות בינומית B(n, p)	$\,(1-p+pe^{it})^{n}$
התפלגות פואסון Pois(λ)	$\,e^{\lambda (e^{it}-1)}$
התפלגות אחידה רציפה U(a, b)	$\,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
התפלגות אחידה בדידה DU(a, b)	${\frac {e^{ita}-e^{it(b+1)}}{(1-e^{it})(b-a+1)}}$
התפלגות נורמלית N(μ, σ2)	$\,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
התפלגות כי בריבוע χ2k	$\,(1-2it)^{-k/2}$
התפלגות קושי C(μ, θ)	$\,e^{ix_{0}t-\gamma |t|}$
התפלגות מעריכית Exp(λ)	$\,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$
התפלגות לפלס L(μ, b)	${\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
התפלגות ברנולי Bern(p)	$1-p+pe^{it}$

תכונות

• הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי ממשי תמיד קיימת, כיוון שהיא אינטגרל של פונקציה חסומה ורציפה על מרחב שהמידה שלו סופית.
• פונקציה אופיינית היא פונקציה רציפה במידה שווה בכל המרחב
• פונקציה אופיינית אינה מתאפסת בסביבה הנקודה אפס, שכן מההגדרה φ(0) = 1.
• פונקציה אופיינית היא הרמיטית: φ(−t) = φ(t) . בפרט, הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי סימטרי (סביב הראשית) היא ממשית וזוגית.
• יש יחס חד-חד ערכי התפלגויות הסתברות לבין פונקציות אופייניות. כלומר לשני משתנים מקריים אותה התפלגות אם ורק אם יש להם אותה פונקציה אופיינית $\varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}$.

קישורים חיצוניים

• פונקציה אופיינית, באתר MathWorld (באנגלית)