פונקציה דיפרנציאבילית

באנליזה מתמטית, פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים, שיש לה קירוב ליניארי (דיפרנציאל). פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד היא פונקציה גזירה.

בפונקציות של כמה משתנים יכולה להיות נגזרת (וקטור הנגזרות החלקיות) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.

הגדרה פורמלית

תהא $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ פונקציה ב-$\!\,n$ משתנים. הפונקציה תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה $x^{0}=\left(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0}\right)$ אם אפשר לכתוב $\ f(x_{1}^{0}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}^{0}+\Delta x_{n})=f(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})+\sum _{i=1}^{n}(A_{i}+\alpha _{i}(x))\cdot \Delta x_{i}$, כאשר $\!\,A_{1},\dots ,A_{n}$ קבועים, ו-$\!\,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ פונקציות השואפות לאפס כאשר $\!\,\Delta x$ שואף לאפס. בניסוח שקול, $f$ דיפרנציאבילית בנקודה $x^{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ אם קיימת העתקה ליניארית $J\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ כך שמתקיים

$\lim _{||\Delta x||\to 0}{\frac {f(x^{0}+\Delta x)-f(x^{0})-J(\Delta x)}{||\Delta x||}}=0$.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה $\!\,x^{0}$ אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה ליניארית ב-$\!\,n$ משתנים, כשהמקדמים הם $\!\,A_{1},\dots ,A_{n}$. זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות $\!\,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$) קטנות מאוד יחסית לחלק הליניארי של הפונקציה.

ניתן להכליל את ההגדרה גם לפונקציות וקטוריות: פונקציה $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה $x^{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ אם כל ההטלות שלה דיפרנציאביליות ב-$x^{0}$. בניסוח שקול, $f$ דיפרנציאבילית בנקודה $x^{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ אם קיימת העתקה ליניארית $J\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ כך שמתקיים

$\lim _{||\Delta x||_{\mathbb {R} ^{n}}\to 0}{\frac {||f(x^{0}+\Delta x)-f(x^{0})-J(\Delta x)||_{\mathbb {R} ^{m}}}{||\Delta x||_{\mathbb {R} ^{n}}}}=0$.

משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות

אם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם, יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים $\!\,A_{1},\dots ,A_{n}$ בקירוב הליניארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: $\!\,A_{k}={\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x^{0})$.

במקרה המוכלל, ההעתקה הליניארית $J$ יחידה, והמטריצה המייצגת שלה בבסיס הסטנדרטי היא מטריצת יעקובי של $f$ בנקודה.

קיומן של נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית (או אפילו רציפה). מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.

קישורים חיצוניים

• פונקציה דיפרנציאבילית, באתר MathWorld (באנגלית)