פונקציה הרמונית

במתמטיקה ופיזיקה, פונקציה הרמונית היא פונקציה $\ f:U\to \mathbb {R}$ (כאשר $\ U$ היא קבוצה פתוחה ב-$\ \mathbb {R} ^{n}$) המקיימת את משוואת לפלס שהיא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:

$\ \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

פונקציה שעבורה אגף שמאל של המשוואה הוא אי שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת-הרמונית, ופונקציה המקיימת שאגף שמאל של המשוואה הוא אי חיובי בכל נקודה נקראת פונקציה על הרמונית.

דוגמאות

מימד אחד

משוואת לפלס במימד אחד היא ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=0$. אם כן, פונקציות הרמוניות ממימד אחד הן פונקציות ליניאריות מהצורה $f(x)=Ax+B$ זאת כאשר $A$ ו-$B$ הם קבועים.

שני ממדים

משוואת לפלס בשני ממדים היא מהצורה ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0$. להלן מספרת דוגמאות לפונקציות הרמוניות בשני ממדים:

• הפונקציה $\ f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2})$ היא פונקציה הרמונית של שני משתנים המוגדרת בכל נקודה במישור חוץ מהראשית.

• אם $\ F:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ היא פונקציה הולומורפית אז ממשוואות קושי רימן נובע שהפונקציות $u(x,y)=Re(F(x+iy))$ וכן $v(x,y)=Im(F(x+iy))$ הן פונקציות הרמוניות בשני משתנים.
• ההפך גם מתקיים: עבור פונקציה הרמונית בשני משתנים $\ u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ אפשר למצוא פונקציה $\ v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ כך שהפונקציה $\ u+iv$ היא הולומורפית. $v$ כזו נקראת הצמודה ההרמונית של $u$. אם $u$ מוגדרת על קבוצה פתוחה $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$, אזי לא מובטח שקיימת לה צמודה הרמונית בכל התחום, אלא רק באופן מקומי.

שלושה ממדים

משוואת לפלס בשלושה ממדים היא מהצורה ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0$.

משוואה זו משמשת רבות במציאת פוטנציאל של שדה חשמלי בנקודה שבה אין מטען חשמלי, ובאופן דומה בדומה, פוטנציאל של שדה כבידה בנקודה בה אין מסה הוא פונקציה הרמונית. להלן מספרת דוגמאות לפונקציות הרמוניות בשלושה ממדים (כלל הדוגמאות בקואורדינטות כדוריות):

• פוטנציאל של מטען נקודתי ${\frac {1}{r}}$.
• פונקציית הדיפול ${\frac {x}{r^{3}}}$ (בדוגמה זו בכיוון $x$)
• פוטנציאל מטען אחיד על ישר אינסופי $-\ln(r^{2}-z^{2})$ (בדוגמה זו בכיוון $z$)
• פוטנציאל מטען אחיד על ישר חצי-אינסופי $-\ln(r+z)$ (בדוגמה זו בכיוון $z$)
• הרמוניות ספריות. באופן כללי ניתן להוכיח שכל פתרון של משואת לפלס התלת־ממדית ניתן לפירוק לסכום אינסופי של הרמוניות ספריות כפול רכיב הרדיוס בחזרת התנע הזוויתי: $f(r,\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }{\sum _{m=-l}^{l}{(A_{lm}r^{l}+B_{lm}r^{-l-1})Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ))}}$

תכונות

• פונקציה קבועה היא הרמונית.
• כל נגזרת של פונקציה הרמונית היא הרמונית.
• פונקציה הרמונית היא תמיד אנליטית (למרות שלצורך ההגדרה, נדרש שפונקציה הרמונית תהיה רק גזירה פעמיים בכל נקודה). תכונה זו נכונה למשפחה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות שנקראות משוואות אליפטיות.

• עקרון המקסימום טוען שפונקציה הרמונית בתחום $\ U$ מקבלת את ערכה המקסימלי על השפה של $\ U$.

• תכונת הערך הממוצע היא שהערך של פונקציה הרמונית בנקודה $\ x$ שווה לממוצע הערכים שלה על פני ספרה סביב $\ x$. בסימונים, אם $\ u$ פונקציה הרמונית אז $\ u(x)={\frac {1}{vol_{n-1}(\partial B(x,r))}}\int _{\partial B(x,r)}u(y)dy$.

• משפט ליוביל טוען שפונקציה הרמונית חסומה (למעשה מספיק שהפונקציה תהיה חסומה מאחד הכוונים) שמוגדרת על כל $\ \mathbb {R} ^{n}$ היא קבועה.

מושגים קשורים

• הלפלסיאן הוא האופרטור הדיפרנציאלי $\ \nabla ^{2}=\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$ . פונקציה הרמונית, לכן, היא פונקציה המקיימת $\ \Delta f=0$.

• בגאומטריה דיפרנציאלית מכלילים את הגדרת הלפלסיאן (ולכן את הגדרת ההרמוניות) עבור תבניות דיפרנציאליות מסדר גבוה מ-0 וגם ליריעות עם מטריקה לא שטוחה. הלפלסיאן המוכלל נקרא אופרטור לפלס-בלטרמי.

• בתורת הגרפים מגדירים פונקציה הרמונית להיות פונקציה $\ f:V\to \mathbb {R}$ (כאשר $\ V$ היא קבוצת הקדקודים של גרף) המקיימת (באנלוגיה לתכונת ערך הבינים) $f(v)={\frac {1}{|\{u|v\sim u\}|}}\sum _{u\sim v}f(u)$ (כלומר, הערך של הפונקציה בקדקד מסוים שווה לממוצע הערכים של הפונקציה על השכנים של הקדקד).

• בעיית דיריכלה שואלת באילו תנאים יש פונקציה הרמונית בתחום $\ U$ שצמצומה לשפה של $\ U$ הוא פונקציה נתונה.

קישורים חיצוניים

• פונקציה הרמונית, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציה הרמונית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• פונקציות הרמוניות, דף שער בספרייה הלאומית