פונקציה מדידה

במתמטיקה, בתחום תורת המידה, פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים, והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה, הוא קבוצה מדידה. בניסוח פורמלי, אם $\ (X,{\mathcal {M}}_{X}),(Y,{\mathcal {M}}_{Y})$ הם מרחבים מדידים, אז $\ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})$ היא פונקציה מדידה אם $\ \forall V\in {\mathcal {M}}_{y}\ :\ f^{-1}(V)\in {\mathcal {M}}_{x}$.

אם נתון מרחב טופולוגי $\ X$, ניתן להתייחס אליו בתור מרחב מידה עם אלגברת בורל, כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה $\ \sigma$-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות.

לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס למרחב הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.

מקרים מיוחדים

• פונקציה מדידה $\ f:(X,{\mathcal {B}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {B}}_{Y})$ נקראת מדידת בורל כאשר $\ {\mathcal {B}}_{X},{\mathcal {B}}_{Y}$ הן אלגבראות בורל. כל פונקציה רציפה היא מדידת בורל, אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה.
• פונקציה מדידה $\ f:(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {L}}_{n})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ נקראת מדידת לבג אם ${\mathcal {B}}$ אלגברת בורל ו ${\mathcal {L}}_{n}$ היא סיגמה אלגברה של לבג.
• תהא f פונקציה $\ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, אז הפונקציה מדידה אם מתקיים אחד התנאים הבאים

1. לכל $t\in \mathbb {R}$ הקבוצה $\{x\in X\mid f(x)>t\}$ מדידה
2. לכל $t\in \mathbb {R}$ הקבוצה $\{x\in X\mid f(x)\geq t\}$ מדידה
3. לכל $t\in \mathbb {R}$ הקבוצה $\{x\in X\mid f(x)<t\}$ מדידה
4. לכל $t\in \mathbb {R}$ הקבוצה $\{x\in X\mid f(x)\leq t\}$ מדידה
5. לכל $U\in {\mathcal {B}}$ הקבוצה $\ f^{-1}(U)$ מדידה

תכונות

• אם הפונקציות $\ g:(Y,{\mathcal {M}}_{Y})\rightarrow (Z,{\mathcal {M}}_{Y})$, $\ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})$ מדידות, אז ההרכבה שלהן $g\circ f$ היא פונקציה מדידה.
• אם $\ f,g:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ מדידות, אז הסכום והכפל שלהן מדיד. אם $\forall x\in X,g(x)\neq 0$ אז גם הפונקציה ${\frac {f}{g}}$ מדידה.
• אם $\ f_{n}:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ מדידות אז גם $\sup _{n}f_{n},\;\inf _{n}f_{n},\;\limsup _{n}f_{n},\;\liminf _{n}f_{n}$ מדידות. אם קיים הגבול, אז גם $\lim _{n}f_{n}$ מדידה.
• אם $\ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})$ ו-$C$ קבוצת תת-קבוצות של $Y$ עבורה $\sigma (C)={\mathcal {M}}_{Y}$, אז $f$ מדידה אם ורק אם $\forall A\in C:{f}^{-1}(A)\in {\mathcal {M}}_{X}$. במילים, מספיק לבדוק מדידות ל"קבוצה פורשת" של הסיגמא-אלגברה.

קירוב של פונקציה מדידה

פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים. יהא $\ X$ מרחב ו $\{A_{k}\}_{1}^{n}$ קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה

$$\ s(x)=\sum _{1}^{n}\alpha _{k}\chi _{A_{k}}(x)$$

כאשר $\chi _{A_{k}}$ היא הפונקציה מציינת. אם $\ (X,{\mathcal {M}}_{X})$ מרחב מדיד ו $\ A_{k}$ קבוצות מדידות, אז $\ s(x)$ נקראת פונקציה מדידה פשוטה.

משפט: לכל פונקציה מדידה $\ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, קיימת סדרה $\ s_{n}\ :(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ של פונקציות פשוטות מדידות, כך ש $\ \lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=f$ נקודתית. אם $\ f\geq 0$ ניתן לבחור את הסדרה כך ש $0\leq s_{n}\leq s_{n+1}$ ובאופן כללי ניתן לבחור את הסדרה כך ש $0\leq |s_{n}|\leq |s_{n+1}|$

ראו גם

• תורת המידה
• סיגמא-אלגברה
• מידה (מתמטיקה)
• השווה גם הגדרה של פונקציה רציפה במרחב טופולוגי.

קישורים חיצוניים

• פונקציה מדידה, באתר MathWorld (באנגלית)