פונקציית אוילר

1,000 הערכים הראשונים של פונקציית אוילר

פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית (פי), מוגדרת באופן הבא: שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל- ואינם גדולים ממנו. למשל, , , ואילו (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו).

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר מחלק את .

חישוב הפונקציהעריכה

אם   מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ-  זרים לו, ולכן  . באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל-  הם כל אלו שמתחלקים ב- , שמספרם  , ולכן  . ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר,   כל אימת שהמספרים   זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה  , כאשר   הם הגורמים הראשוניים השונים של  . לדוגמה  .

תכונות הפונקציהעריכה

פונקציית אוילר מקיימת את הזהות  , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית  .

לכל  ,   מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם   בעבור  , אז  . אחרת, ל-  יש מחלק   ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה  , ולכן:  , ו-  זוגי.

הערך הממוצע של הפונקציה הוא[1]  . הגבול התחתון של היחס   הוא  , כאשר   הוא קבוע אוילר.

בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית   של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר   (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

מקורותעריכה

  • Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא פונקציית אוילר בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz,