פתיחת התפריט הראשי

פונקציית אוילר

1,000 הערכים הראשונים של פונקציית אוילר

פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית (פי), מוגדרת באופן הבא: שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל-n ואינם גדולים ממנו. למשל, , , ואילו (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו).

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר מחלק את .

חישוב הפונקציהעריכה

אם   מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ-  זרים לו, ולכן  . באופן כללי יותר, המספרים הזרים ל-  הם כל אלו שאינם מתחלקים ב- , ולכן  , והרי המספרים היחידים בין p לp^s המתחלקים בp הם p, 2p, 3p, ..., ומכאן שישנם p-1 כאלה בין כל np ו(n+1)p. בנוסף, מספר הפעמים שיופיע מספר מהצורה הזו הוא בדיוק p^s/p, דהיינו - p^s-1. ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר,   כל אימת שהמספרים   זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה  , כאשר   הם הגורמים הראשוניים השונים של  . לדוגמה  .

תכונות הפונקציהעריכה

פונקציית אוילר מקיימת את הזהות  , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית  .

לכל  ,   מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם   ל-  אז  . אחרת, ל-n יש מחלק p ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה  , ולכן:  , ו-  זוגי.

הערך הממוצע של הפונקציה הוא[1]  . הגבול התחתון של היחס   הוא  , כאשר   הוא קבוע אוילר.

בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית   של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר n (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

מקורותעריכה

  • Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא פונקציית אוילר בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz,