פונקציית בוכשטאב

פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה , שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:

Graph of the Buchstab function ω(u) from u = 1 to u = 4.
. יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.

הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб,‏ 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.

אסימפטוטיות

עריכה

אם   מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני, אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל   כאשר   . למעשה,  , כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman)[1]. כמו כן, הערך   מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות. המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקבים[2].

יישומים

עריכה

פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(xy) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים:  

קישורים חיצוניים

עריכה

הערות שוליים

עריכה
  1. ^ An improvement of Selberg’s sieve method, W. B. Jurkat and H. E. Richert, Acta Arithmetica 11 (1965), סעיף 5.13. במאמרם, הוסט הארגומנט של p - ביחידה אחת - ביחס להגדרה הרגילה.
  2. ^ A. Y. Cheer and D. A. Goldston, Mathematics of Computation 55 (1990), עמוד 131.