פונקציית זיווג

במתמטיקה, פונקציית זיווג היא תהליך שמקודד באופן ייחודי שני מספרים טבעיים למספר טבעי יחיד.

כל פונקציית זיווג יכולה לשמש בתורת הקבוצות על מנת להוכיח כי לקבוצת המספרים השלמים ולקבוצת המספרים הרציונליים עוצמה זהה לעוצמה של הטבעיים.

הגדרה

פונקציית זיווג היא פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית חד-חד-ערכית ועל:

$\pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} .$

פונקציית הזיווג של קנטור

פונקציית הזיווג של קנטור מזווגת לכל זוג מספרים טבעיים מספר טבעי יחיד

הגדרה

פונקציית הזיווג של קנטור היא פונקציית זיווג

$\pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}$

מוגדרת כדלהלן:

$\pi (k_{1},k_{2}):={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})(k_{1}+k_{2}+1)+k_{2}.$

כאשר מחשבים פונקציית זיווג על המספרים $k_{1}$ ו-$k_{2}$ נהוג לסמן את התוצאה באמצעות סוגריים זוויתיים
$\langle k_{1},k_{2}\rangle \,.$

ניתן להכליל את הפונקציה הנ"ל לפונקציית הווקטור של קנטור

$\pi ^{(n)}:\mathbb {N} ^{n}\to \mathbb {N}$

כדלהלן:

$\pi ^{(n)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1},k_{n}):=\pi (\pi ^{(n-1)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1}),k_{n})$

היפוך פונקציית הזיווג

בהינתן $z$ כך ש- $z=\langle x,y\rangle ={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}+y$

נמצא את $x$ ו-$y$.

נגדיר:

• $w=x+y$
• $t={\frac {w(w+1)}{2}}={\frac {w^{2}+w}{2}}$

אז מתקיים $z=t+y$.

נפתור את המשוואה הריבועית $w^{2}+w-2t=0$ הנובעת מהגדרת $t$, ונקבל $w={\frac {{\sqrt {8t+1}}-1}{2}}$, מכיוון ש$w\geq 0$.

נשתמש בכך שמתקיים $t\leq z=t+y<t+(w+1)={\frac {(w+1)^{2}+(w+1)}{2}}$. הפתרון של אי שוויון זה הוא $w+1>{\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}$. נקבל:

$w\leq {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}<w+1$

מכך נובע $w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor$, ומצאנו את $w$. כעת נחשב:

• $t={\frac {w^{2}+w}{2}}$
• $y=z-t$
• $x=w-y$

מצאנו זוג יחיד $(x,y)=\left(\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor -z+{\frac {\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor ^{2}+\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor }{2}},z-{\frac {\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor ^{2}+\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor }{2}}\right)$ המקיים $\pi (x,y)=z$, לכן $\pi$ חד חד ערכית ועל.

קישורים חיצוניים

• פונקציית זיווג, באתר MathWorld (באנגלית)