פונקציות ברילואן ולנז'וון

(הופנה מהדף פונקציית לנז'בן)

פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות [דרושה הבהרה] המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.

פונקציית ברילואןעריכה

פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן)[1][2] היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:

 

הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר   ול-1- כאשר  .

הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:[1]

 

כאשר:

 

במערכת היחידות SI, השדה המגנטי  נמדד ביחידות טסלה ו-  כאשר   הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו-  הוא קבוע הפרמאביליות בריק.

פונקציית לנז'וויןעריכה

בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי  . אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):

 

עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:[3]

 

חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת   כשבר משולב על פי למברט:

 

פונקציית לנז'וון ההפוכה  , מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:[3]

 

גבול טמפרטורה גבוההעריכה

כאשר  , כלומר, כאשר   קטן מאוד - בגבול טמפרטורה   גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:

 

כאשר,   הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא  .

גבול שדה רחוקעריכה

כאשר   פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:

 

הערות שולייםעריכה

  1. ^ 1 2 C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, .John Wiley & Sons, Inc, 8th Edition, 2004, עמ' 303-304, ISBN 978-0-471-41526-8
  2. ^ .Darby, M.I, "Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization", Brit. J. Appl. Phys. 18, 1967, עמ' 1415–1417
  3. ^ 1 2 Johal, A. S.; Dunstan, D. J., "Energy functions for rubber from microscopic potentials", Journal of Applied Physics 101, 2007