פורטל:מתמטיקה/חידה

< פורטל:מתמטיקה

הוכח כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים מתחלק ב-2.

פתרון

נסמן את שני המספרים האי-זוגיים כ-

\ 2t+1

ו-

\ 2k+1

כאשר

\ t

ו-

\ k

הם מספרים טבעיים.

נעלה אותם בריבוע: ‎ $\ (2t+1)^{2}=4t^{2}+4t+1$ ואותו דבר לגבי ‎ $\ (2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1$ .

נחשב את ההפרש ביניהם, ונקבל $\ 4t^{2}+4t-4k^{2}-4k$ . נחלק ב-4, ונוכיח שהתוצאה, $\ k^{2}+k-t^{2}-t$ , מתחלקת ב-2, כלומר זוגית. קל לראות זאת, משום שהסכום $\ k^{2}+k=k(k+1)$ הוא מכפלה של שני מספרים עוקבים ולכן זוגי, ונימוק זה נכון גם לגבי $\ -t^{2}-t=-(t^{2}+t)=-t(t+1)$ ולכן גם הוא זוגי. מכיוון שהפרש של שני מספרים זוגיים גם הוא זוגי, מכאן נובע שהתוצאה הסופית זוגית, כנדרש.

הסבר מקוצר: אם מספר הנו אי זוגי, הרי כל הגורמים המחלקים אותו הנם אי זוגיים, מכאן שגם ריבועו הנו מספר אי זוגי. הפרש שני מספרים אי זוגיים הנו מספר זוגי.

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=פורטל:מתמטיקה/חידה&oldid=35891027"