פנים (טופולוגיה)

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $A$ ב-${\mbox{Int}}(A)$ או ב-$A^{\circ }$.

הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p.

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

• תהא $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, ${\mbox{Int}}(A)$, בתור קבוצת כל הנקודות $x\in A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $B$ כך ש-$x\in B\subseteq A$ - כלומר, הקבוצה $A$ היא סביבה של $x$.
• תהא $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-$A$. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-$A$.
• תהא $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: ${\mbox{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c}$.

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור $[0,1]$ בישר הממשי.

$[0,1]^{c}=(-\infty ,0)\cup (1,\infty )$

${\overline {[0,1]^{c}}}=(-\infty ,0]\cup [(1,\infty )$

$({\overline {[0,1]^{c}}})^{c}=(0,1)$

ולכן הפנים של $[0,1]$ הוא הקטע הפתוח $(0,1)$.

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

• כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $A={\mbox{Int}}(A)$. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן ${\mbox{Int}}(A)={\mbox{Int}}\left({\mbox{Int}}(A)\right)$.
• $A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Int}}(A)\subseteq {\mbox{Int}}(B)$
• ${\mbox{Int}}(A)\cup {\mbox{Int}}(B)\subseteq {\mbox{Int}}\left(A\cup B\right)$
• ${\mbox{Int}}\left(A\cap B\right)={\mbox{Int}}(A)\cap {\mbox{Int}}(B)$

חוץ

החוץ של קבוצה $A$, המסומן ${\mbox{Ext}}(A)$, מוגדר כפנים של המשלים שלה: ${\mbox{Ext}}(A)={\mbox{Int}}(A^{c})$. באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: ${\mbox{Ext}}(A)=({\mbox{Cl}}(A))^{c}$.

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם

• נקודת מרכז

קישורים חיצוניים

• פנים, באתר MathWorld (באנגלית)