פתיחת התפריט הראשי

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G פועלת על הקבוצה X. אם לכל שתי נקודות קיים איבר המעביר את x ל- y, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה X יש מבנה נוסף (כגון אם X הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה G הפועלת על X באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של X דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- X מרחב הומוגני (אם X הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי).

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה . כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה X איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של G) למרחב הקוסטים . המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

טרנזיטיביות מסדר גבוהעריכה

כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי  , כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה   את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה   של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על  , אז הפעולה שלה על X היא פעולה k-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל   שונים זה מזה, ולכל   שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר  . אם יש בחבורה איבר יחיד g כנ"ל, אז הפעולה היא k-טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית   על הקבוצה   היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות   על אותה קבוצה היא (n-2)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר  , הפעולה של   היא m-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

פעולה על קבוצה אינסופיתעריכה

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא k-טרנזיטיבית לכל k, ואוליגומורפית אם לכל k יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל k.

מיון של פעולות טרנזיטיביותעריכה

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן   וחבורת מתיו  ; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן   וחבורת מתיו  , ושהחבורות היחידות הפועלות באופן k-טרנזיטיבי חד, עבור  , הן  .

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן   (לכל חזקת-ראשוני q), ו-   (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי);   היא תת-חבורה של   המכילה את  .

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות   ו-  , החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו:   ו-   הן 4-טרנזיטיביות, ו-   ו-   הן 5-טרנזיטיביות) [1].

ראו גםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Permutation Groups, Peter J. Cameron, London Math. Soc., Cambridge Univ. Press; משפט 4.11