פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה פועלת על הקבוצה . אם לכל שתי נקודות קיים איבר המעביר את ל-, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה יש מבנה נוסף (כגון אם הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה הפועלת על באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- מרחב הומוגני (אם הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי).

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה . כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של ) למרחב הקוסטים . המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

טרנזיטיביות מסדר גבוהעריכה

כאשר החבורה   פועלת על קבוצה  , היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של   עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של  . הפעולה מוגדרת לפי  , כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה   את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה   של הווקטורים באורך   שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של  , המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם   פועלת באופן טרנזיטיבי על  , אז הפעולה שלה על   היא פעולה  -טרנזיטיבית. ניסוח אחר:   פועלת  -טרנזיטיבית על  , אם לכל   שונים זה מזה, ולכל   שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר  . אם יש בחבורה איבר יחיד   כנ"ל, אז הפעולה היא  -טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית   על הקבוצה   היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות   על אותה קבוצה היא ( )-טרנזיטיבית (חדה). כאשר  , הפעולה של   היא  -טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

פעולה על קבוצה אינסופיתעריכה

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא  -טרנזיטיבית לכל  , ואוליגומורפית אם לכל   יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל  .

מיון של פעולות טרנזיטיביותעריכה

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן   וחבורת מתיו  ; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן   וחבורת מתיו  , ושהחבורות היחידות הפועלות באופן  -טרנזיטיבי חד, עבור  , הן  .

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן   (לכל חזקת-ראשוני  ), ו-  (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי);   היא תת-חבורה של   המכילה את  .

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות   ו- , החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו:   ו-  הן 4-טרנזיטיביות, ו-  ו-  הן 5-טרנזיטיביות) [1].

ראו גםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Permutation Groups, Peter J. Cameron, London Math. Soc., Cambridge Univ. Press; משפט 4.11