צירוף קמור

צירוף לינארי שבו המקדמים אי-שליליים ומסתכמים ל-1

בגאומטריה קמורה ובמרחבים וקטוריים, צירוף קמור הוא צירוף ליניארי של נקודות (שיכולות להיות וקטורים, סקלרים או באופן כללי יותר נקודות במרחב אפיני) כאשר כל המקדמים אי-שליליים וסכומם הוא 1.[1] במילים אחרות, הפעולה שווה לממוצע משוקלל רגיל, אלא שנדרש שהמשקלים יהיו מבוטאים כחלק היחסי של כל משקל מ-1.

בהינתן שלוש נקודות במישור, , כפי שמוצג באיור, ניתן לבטא את הנקודה כצירוף קמור של שלוש הנקודות, ואילו את לא ניתן לבטא כך.
(לעומת זאת, היא דווקא כן צירוף אפיני של שלוש הנקודות, שכן הסגור האפיני שלהן הוא כל המישור.)
צירוף קמור של שתי נקודות במרחב וקטורי דו־ממדי , מונפש בגאוגברה בצורה , כאשר
צירוף קמור של שתי פונקציות כווקטורים במרחב וקטורי של פונקציות – מומחש בתוכנת גאוגברה על הקטע .פונקציה אחת (בירוק) היא הפולינום , והפונקציה האחרת (בכחול) היא הפונקציה הטריגונומטרית – שתיהן מוגדרות על הקטע .
הצירוף הקמור שֶׁל ו- משורטט בצבע אדום.

פורמלית, בהינתן מספר סופי של נקודות במרחב וקטורי ממשי, צירוף קמור של הנקודות האלה הוא כל נקודה שניתן לבטא בצורה

כאשר לכל , מתקיים ש- הוא מספר ממשי אי-שלילי () וכן .[1]

לדוגמה, כל צירוף קמור של שתי נקודות נמצא על הקטע המחבר ביניהן.[1]

קבוצה נקראת קמורה אם היא מכילה את כל הצירופים הקמורים של הנקודות שלה. הקמוֹר של קבוצת נקודות נתונה הוא בדיוק קבוצת כל הצירופים הקמורים שלהם.[1]

במרחבים וקטוריים, קיימות תת-קבוצות של המרחב שאינן סגורות תחת צירופים ליניאריים, אבל כן סגורות תחת צירופים קמורים. לדוגמה, הקטע הוא קמור, אך תחת צירופים ליניאריים, הוא יוצר את הישר הממשי. דוגמה נוספת לכך היא קבוצה של התפלגויות הסתברות, שכן צירופים ליניאריים כלליים של התפלגויות אינם דווקא אי-שליליים או אפיניים (כלומר, בעלי מידה אחת).

אובייקטים אחרים

עריכה
  • באופן דומה, ניתן להגדיר משתנה מקרי   שהוא צירוף קמור של משתנים מקריים  , עם מקדמים   כמו לעיל. במקרה זה, פונקציית התפלגות ההסתברות של   היא ממוצע משוקלל של התפלגויות ההסתברות המרכיבות שלו – המכונה לעיתים קרובות התפלגות תערובת (סופית):
     

מבנים קשורים

עריכה
  • צירוף חרוטי (conical combination) הוא צירוף ליניארי עם מקדמים אי-שליליים. כאשר נקודה   יש להשתמש כמקור הייחוס להגדרת וקטורי תזוזה, אם כן   הוא צירוף קמור של   נקודות   אם ורק אם תזוזה אפס היא שילוב חרוטי לא טריוויאלי שלהם   וקטורי תזוזה בהתאמה ביחס ל   .
  • ממוצע משוקלל זהה מבחינה תפקודית לצירוף קמור, אך הם משתמשים בסימון שונה. המקדמים (המשקולות) בממוצע משוקלל אינם נדרשים להיסכם ל-1; במקום זאת, הצירוף הליניארי המשוקלל מחולק במפורש בסכום המשקולות.
  • צירוף אפיני הוא כמו צירוף קמור, אבל המקדמים אינם נדרשים להיות אי-שליליים. לפיכך, צירופים אפיניים מוגדרים במרחבים וקטוריים מעל כל שדה, ולא רק מעל שדות סדורים.

ראו גם

עריכה

קישורים חיצוניים

עריכה

הערות שוליים

עריכה
  1. ^ 1 2 3 4 Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Convex Analysis, Princeton Mathematical Series, vol. 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., pp. 11–12, MR 0274683