קבוע דה ברויין-ניומן

במתמטיקה, קבוע דה ברויין-ניומן, המסומן באות , הוא קבוע מתמטי ממשי, שערכו אינו ידוע. הקבוע מוגדר באמצעות משפחה חד-פרמטרית של פונקציות מרוכבות , וחשיבותו בכך שהשערת רימן שקולה לכך שהוא אינו גדול מאפס. ידוע ש-.

אם מגדירים (כאשר ממשי), אפשר לבטא את פונקציית קסי של רימן כאינטגרל (כאשר z משתנה מרוכב). השערת רימן שקולה לטענה ש- היא בעלת שורשים ממשיים בלבד (כלומר, כל הערכים שעבורם הם ממשיים). את ההגדרה הזו אפשר להכליל באמצעות הוספת פרמטר ממשי למשפחת פונקציות , כך ש- .

בהקשר זה, טבעי לשאול עבור אלו ערכים של הפונקציה היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. הקבוע מוגדר כאינפימום של קבוצת הערכים שעבורם היא בעלת שורשים ממשיים בלבד. לאור הקשר בין הפונקציה לבין , השערת רימן שקולה לטענה ש-.

ניקולאס חוברט דה ברויין הוכיח ב-1950 ש- בעלת שורשים ממשיים בלבד לכל , ואינה כזו לכל . בנוסף, הוא הוכיח ש-. צ'ארלס ניומן השלים את התמונה בשנת 1976, בהוכיחו ש- בעלת שורשים ממשיים בלבד גם עבור , ושיער ש-; כלומר, ש- אינה בעלת שורשים ממשיים בלבד כאשר .

הגבול התחתון הטוב ביותר הידוע עבור הקבוע השתפר בהדרגה, לפי הטבלה הבאה:

שנה גבול תחתון ידוע מקור
1988
1991
1990
1994 Csordas, Smith and Varga
1993 Csordas, Odlyzko, Smith and Varga
2000
2011
2018 Rogers and Tao [1]

קישורים חיצונייםעריכה