התבדרות הטור נחשבת מפתיעה. אמנם הטור ההרמוני מתבדר, אבל לעומת זאת הטור מתכנס לכל קבוע ממשי . מתברר שגם לבחירה של קרוב מאוד ל-1, סכום ההופכיים של כל הטבעיים בחזקת קטן יותר מסכום ההופכיים של הראשוניים בלבד.
טור ההופכיים של הראשוניים מתבדר לאט מאוד. סכום ההופכיים של כל הראשוניים הקטנים מ-אסימפטוטי ל-, כאשר הוא קבוע הנקרא קבוע מייזל-מרטנס, השווה בערך ל-0.261. כך, למשל, כדי להגיע לסכום העולה על המספר 10, יש לסכום בערך את כל ההופכיים של הראשוניים שקטנים מ-.
אוילר הוכיח את התבדרות הטור בדרך דומה מאוד להוכחתו שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחתו של אוילר אינה ריגורוזית מספיק כדי להיחשב הוכחה קבילה בימינו. הוא כולל בהוכחתו מניפולציות רבות עם סכומים אינסופיים. כיום, לאחר ביסוס מדויק של תורת הטורים, ידוע כי מניפולציות שכאלה לא בהכרח עובדות. עם זאת, אוילר הצליח להגיע בהוכחתו לתוצאה מדויקת, אפילו לגבי קצב הגידול של הטור. ניתן להפוך את הוכחת אוילר להוכחה ריגורוזית אם עובדים עם הסכומים החלקיים (במקום עם הטור האינסופי), ומראים שככל שהסכומים גדלים ההפרש בין הטורים שמשווים שואף לאפס.
המתמטיקאי פאול ארדש הציג הוכחה אלמנטרית ברובה להתבדרות הטור. ההוכחה מסתמכת ישירות על תכונות הראשוניים, ולא על מניפולציות אנליטיות.
נניח בשלילה כי טור ההופכיים מתכנס. כלומר החל מראשוני מסוים זנב הטור קטן כרצוננו.
נבחר מספר שלם כך שמתקיים , ובפרט לכל טבעי . בזאת מסתיים החלק האנליטי בהוכחה.
נכנה את המספרים ראשוניים קטנים, ואת המספרים ראשוניים גדולים.
יהי מספר המספרים המתחלקים רק בראשוניים קטנים, ויהי מספר המספרים המתחלקים בראשוניים גדולים.
ברור כי . נגיע לסתירה בכך שנראה כי ל-גדול מספיק שוויון זה לא מתקיים.
נטפל ב-. כל בעל מחלקים ראשוניים קטנים בלבד נרשום בצורה , כאשר חופשי מריבועים (אינו מתחלק באף מספר ריבועי מלבד 1).
כל מספר חסר ריבועים הוא מכפלת ראשוניים שונים, וישנן בדיוק דרכים שונות להכפלת הראשוניים הקטנים זה בזה. לכן ישנם לכל היותר ערכי שונים.
כמו כן , ולכן ישנם לכל היותר ערכי שונים.
כל שילוב של ערכי נותן אחד מהערכים האפשריים של שכל גורמיו ראשוניים קטנים, ובסך הכל נקבל את החסם .
נטפל ב-. מחלק בדיוק מספרים (לפשר הסימון ראו פונקציית הערך השלם) בטווח . לכן:
כל מה שהושג עד כה תקף לכל . נבחר ונקבל . מכאן נובעת הסתירה:
נמצא חסם תחתון על קצב הגידול של הטור. ראשית נבחן את המכפלה הסופית . אם נפתח סוגריים נקבל סכום של כל המספרים מהצורה כאשר מספרים ראשוניים שונים כלשהם הקטנים או שווים ל-. כלומר סכום ההופכיים של המספרים חסרי ריבועים שגורמיהם הראשוניים קטנים מ-. אם נכפיל את ביטוי זה ב- נקבל את סכום כל המכפלות האפשריות של חסרי ריבועים, עם גורמים ראשוניים קטנים מ-n, עם ריבועים שקטנים או שווים ל-. בפרט בסכום יופיעו כל המספרים הקטנים או שווים ל- (כל מספר הוא מכפלה של חסר ריבועים בריבוע). קיבלנו את האי-שוויון:
נמצא חסם תחתון על קצב הגידול של הטור, אם כי בדרך שונה מזו הקודמת. זוהי גם גרסה ריגורוזית להוכחתו של אוילר לעיל.
ראשית נבחן את המכפלה הסופית . כל אחד מן הגורמים הוא טור הנדסי אינסופי של מספרים חיוביים. לכן ניתן לרשום מכפלה זו כטור חיובי אינסופי. אם נפתח סוגריים נקבל סכום של כל המספרים מהצורה כאשר מספרים ראשוניים שונים כלשהם הקטנים או שווים ל- ו- שלמים אי-שליליים. על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, נקבל את כל המספרים הקטנים או שווים ל-. בכך קיבלנו את האי-שוויון:
נשתמש בחסם (כמו בהוכחה הקודמת), ונקבל:
נשתמש בחסם הידוע לכל (כמו בהוכחה הקודמת), ובחוקי חזקות:
ממשפט דיריכלה נובע שהטור מתבדר אפילו אם סוכמים רק את ההופכיים של ראשוניים בסדרה חשבונית כלשהי (בהנחה שיש בסדרה ראשוניים, כלומר האיבר הראשון והפרש הסדרה זרים זה לזה).