קבוצה שאינה בת מנייה

קבוצה בעלת עוצמה גדולה מזו של המספרים השלמים
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בתורת הקבוצות, קבוצה שאינה בת מנייה היא קבוצה אינסופית המכילה יותר מידי איברים מכדי שניתן יהיה למנות אותם. אי-המנייה של קבוצה קשורה קשר הדוק לעוצמה שלה: קבוצה אינה ניתנת למנייה אם עוצמתה גדולה מאלף אפס, עוצמת המספרים הטבעיים.

תכונותעריכה

ישנם הרבה מאפיינים מקבילים של אי מנייה. קבוצה   אינה בת מנייה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ניתן להוכיח את שלושת המאפיינים הללו כשקולים בתורת הקבוצות של צרמלו־פרנקל (אנ') ללא אקסיומת הבחירה, אך לא ניתן להוכיח את שקילותם של השלישי והרביעי ללא עקרונות בחירה נוספים.

משפט: אם   קבוצה שאינה בת מנייה היא תת־קבוצה של קבוצה  , אז   אינה בת מנייה.

דוגמאותעריכה

דוגמה לקבוצה שאינה בת מנייה היא  , קבוצת המספרים הממשיים. האלכסון של קנטור מראה שאי אפשר למנות את איברי הקבוצה. ניתן להשתמש בטכניקת הלכסון גם עבור קבוצות אחרות כדי להראות שאי אפשר למנות את אבריהן, כמו קבוצת כל הסדרות האינסופיות של המספרים הטבעיים, וקבוצת כל תתי־הקבוצות של קבוצת המספרים הטבעיים (כלומר  , קבוצת החזקה של  ). העוצמה של   נקראת לעיתים קרובות עוצמת הרצף, ומסומנת באות  , ולעיתים גם בסימונים   או  או .

קבוצת קנטור היא תת-קבוצה של   שאינה בת מנייה. קבוצת קנטור הוא פרקטל ובעל ממד האוסדורף גדול מאפס אבל קטן מאחת. זוהי דוגמה לעובדה הבאה: כל תת-קבוצה של   של ממד האוסדורף שגדול מאפס, בהכרח אינה בת מנייה.

דוגמה נוספת לקבוצה שאינה בת מנייה היא קבוצת כל הפונקציות מ-  ל־ . קבוצה זו היא אפילו "יותר בלתי ניתנת למנייה" מאשר  , במובן זה שעוצמתה היא   הגדולה מ־ , העוצמה של  .

דוגמה מופשטת יותר לקבוצה בלתי ניתנת למנייה היא אומגה אחת, קבוצת כל המספרים הסודרים הניתנים למנייה[1]. העוצמה של אומגה אחת מסומנת ב־ . באמצעות אקסיומת הבחירה ניתן להראות ש־  היא העוצמה הקטנה ביותר שאינה בת מנייה. כך גם עוצמת הממשיים, המסומנת ב־ . גאורג קנטור היה הראשון שהעלה את השאלה אם מתקיים השוויון , במה שלימים כונה "השערת הרצף". שאלה חשובה זו הוצגה בשנת 1900 על ידי דויד הילברט, כראשונה מבין 23 הבעיות שלו. לימים הוכיח קורט גדל כי לא ניתן להפריך אותה, וכ־30 שנה לאחר מכן הוכיח פול כהן שאינה תלויה באקסיומות צרמלו-פרנקל לתורת הקבוצות, כולל אקסיומת הבחירה.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה