קואורדינטות איזותרמיות

קואורדינטות איזותרמיות (באנגלית: Isothermal coordinates) על יריעה רימנית הן מערכת קואורדינטות מקומית בגאומטריה דיפרנציאלית שבה המטריקה של היריעה היא קונפורמית למטריקה האוקלידית. זה אומר שבקואורדינטות איזותרמיות, המטריקה הרימנית המקומית מקבלת את הצורה:

$g=\varphi (x_{1},...,x_{n})\cdot (dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}),$

כאשר $\varphi$ היא פונקציה חלקה.

קואורדינטות איזותרמיות על משטחים (שהם יריעות מממד 2) הוצגו לראשונה על ידי גאוס כשפתר את הבעיה של המיפוי הקונפורמי הכללי של משטח נתון על גבי משטח אחר.

המונח "קואורדינטות איזותרמיות" נטבע לראשונה על ידי ז'וזף ליוביל, שבחר בשם זה בשל העובדה שבתאוריה של הולכת חום על משטח מבודד עם מוליכות חום קבועה, הקואורדינטות המוגדרות על ידי הקווים $x_{1}=const$ ו-$x_{2}=const$ מהוות עקומים שווי-טמפרטורה (איזותרמות) אם התבנית היסודית הראשונה מקבלת בקואורדינטות אלו את הצורה שתוארה מקודם (הקונפורמית למטריקה האוקלידית).

פונקציות הרמוניות על משטח (פונקציות עבורן אופרטור הלפלסיאן מתאפס) הן בדיוק אותן פונקציות שהן פונקציות הרמוניות במישור האוקלידי, אלא שהן מוגדרות על מערכת קואורדינטות איזותרמית.

דוגמאות

• הקואורדינטות הגאוגרפיות u ו-v על הספירה הדו-ממדית (קווי אורך ורוחב) אינן איזותרמיות, שכן התבנית היסודית הראשונה מקבלת בהן את הצורה:

$ds^{2}=du^{2}+cos^{2}udv^{2}$

כדי לבנות קואורדינטות איזותרמיות, יש לשמר את קואורדינטת קו האורך v ולהעביר את קווי הרוחב v לקווים אחרים בהתאם לפונקציה:

$u_{1}=ln(tan({\frac {u}{2}}+{\frac {\pi }{4}}))$

בהן המטריקה מקבלת את הצורה:

$ds^{2}={\frac {1}{cosh^{2}u}}(du^{2}+dv^{2})$,

כלומר היא קונפורמית למטריקה האוקלידית.

• בניית קואורדינטות איזותרמיות על הפסאודוספירה (משטח עם עקמומיות שלילית קבועה) יכולה לשמש כדי לקבל את הצורה המתמטית של המטריקה של המודל הקונפורמי של הגאומטריה ההיפרבולית (מודל הדיסק של פואנקרה), המשמר זוויות בין עקומים על הפסאודוספירה.

ראו גם

• העתקה קונפורמית

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.