קוואזי-איזומטריה

בטופולוגיה של מרחבים מטריים, קוואזי-איזומטריה היא פונקציה $f:X\rightarrow Y$ ממרחב מטרי $X$ למשנהו $Y$, השומרת על המבנה המטרי באופן רופף, במובן הבא:

1. קיימים קבועים $\lambda ,C$ כך שלכל $x,x'\in X$ מתקיים $d_{Y}(f(x),f(x'))<\lambda \cdot d_{X}(x,x')+C$ ו-$d_{X}(x,x')<\lambda \cdot d_{Y}(f(x),f(x'))+C$; ובנוסף לזה,
2. לכל $y\in Y$ קיימת נקודה $x\in X$ כך ש- $d_{Y}(f(x),y)<C$.

משמעות התנאי הראשון היא שלפונקציה מותר לשנות את המרחק בין נקודות, אבל במידה מתונה בלבד; בפרט, אם המרחק בין נקודות גדל לאינסוף, כך גם המרחק בין התמונות שלהן. התנאי השני מכריח את הפונקציה לכסות חלק משמעותי מן המרחב השני: כל נקודה ב-$Y$ נמצאת במרחק $C$ לכל היותר מנקודה שהגיעה מ-$X$.

מרחבים שיש ביניהם קוואזי-איזומטריה הם מרחבים קוואזי-איזומטריים. זהו יחס שקילות: הרכבה של קוואזי-איזומטריות היא קוואזי-איזומטריה, ולכל קוואזי-איזומטריה מ-$X$ ל-$Y$ יש קוואזי-איזומטריה בכיוון ההפוך, מ-$Y$ ל-$X$. מרחבים איזומטריים הם בפרט קוואזי-איזומטריים.

קוואזי-איזומטריה מודדת את המבנה של המרחב בקנה מידה גדול בלבד. למשל, כל מרחב קוואזי-איזומטרי למרחב המתקבל כשמוציאים ממנו כדור (גדול ככל שיהיה). בפרט, כל המרחבים החסומים קוואזי-איזומטריים זה לזה.

קוואזי-איזומטריה של חבורות

לכל חבורה, ובפרט כאלה שהן אינסופיות אבל נוצרות סופית, אפשר להתאים את גרף קיילי שלה ביחס לקבוצת יוצרים (סופית) נתונה; גרף כזה אפשר להפוך באופן טבעי למרחב גאודזי. שינוי של קבוצת היוצרים משנה את הגרף, אבל כל הגרפים המתקבלים באופן כזה עבור חבורה נתונה הם קוואזי-איזומטריים זה לזה. לכן אפשר לומר שחבורות הן קוואזי-איזומטריות אם גרפי קיילי שלהן קוואזי-איזומטריים. למשל, חבורות בעלות מידה משותפת הן קוואזי-איזומטריות זו לזו. אומנם, גם חבורות שאינן בעלות מידה משותפת יכולות להיות קוואזי-איזומטריות, ובכל זאת, מבנה הגרף – עד כדי קוואזי-איזומטריה – מלמד רבות על החבורה. אם $G$ ו-$H$ נוצרות סופית וקוואזי-איזומטריות, ואם $G$ היא סופית, בעלת הצגה סופית, דמוי-אבלית, דמוי-נילפוטנטית, דמוי-חופשית, אמנבילית או היפרבולית, אז $H$ מקיימת את אותה תכונה. מאידך, יש דוגמאות לחבורה פתירה נוצרת סופית, וחבורה שאינה דמוי-פתירה, שהן קוואזי-איזומטריות. גם תכונת T של קשדן אינה נשמרת תחת קוואזי-איזומטריה של החבורות.

הקשר בין חבורות והמרחבים שעליהן הן פועלות מושג בדרך הבאה. יהי X מרחב מטרי גאודזי נאות (=הכדורים הסגורים הם קומפקטיים). תהי G חבורה נוצרת סופית, הפועלת על X באופן קו-קומפקטי (=המנה X/G קומפקטית) ובלתי רציף (=לכל קבוצה קומפקטית K קיים איבר g ב-G כך ש-gK זר ל-K). אז X קוואזי-איזומטרי לגרף קיילי של G. מרחב כזה נקרא מודל גאומטרי של G.

ראו גם

• איזומטריה
• גרף קיילי