קונטרה פוזיטיב

בלוגיקה, עקרון הקונטרה פוזיטיב (באנגלית: Contrapositive) קובע שמצב שבו טענה $a$ גוררת לוגית מסקנה $b$, שקול טאוטולוגית למצב בו שלילת המסקנה $\neg b$ גוררת את שלילת הטענה המקורית $\neg a$.

בכתיב מתמטי: $a\to b\iff \neg b\to \neg a$.

הביטוי הימני הוא הקונטרה פוזיטיב של הביטוי השמאלי, ואחד מהם מתקיים אם ורק אם האחר מתקיים.

הסבר

דוגמה

נתון ש־”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל”.

שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב על המשפט יוביל למסקנה שאם אני לא לובש מעיל, אז בהכרח לא יורד גשם – כי אילו היה יורד גשם, בהכרח הייתי לובש מעיל.

הצרנה של התהליך תהיה:

• $a$ – ”יורד גשם”
• $b$ – ”לובש מעיל”

היות שנתון $a\to b$ (”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל”) אז מתקיים גם הקונטרה פוזיטיב של הנתון, $\neg b\to \neg a$ (”אם אני לא לובש מעיל, אז לא יורד גשם”).

המחשה חזותית

קבוצה A מוכלת ב־B, או במילים אחרות, כל האיברים ששייכים ל־A שייכים גם ל־B.

בדיאגרמת ון שבתמונה, אם איבר $x$ שייך לקבוצה $A$, הוא בהכרח גם שייך ל־$B$.

כשמסמנים ${\begin{matrix}a={\text{“}}x\in A{\text{”}}\\b={\text{“}}x\in B{\text{”}}\end{matrix}}$, הטענה הזו נכתבת $a\to b$. כך שעל פי עקרון הקונטרה פוזיטיב בהכרח $\neg b\to \neg a$.

במילים אחרות, אם $x$ לא שייך ל־$B$ אז הוא גם לא שייך ל־$A$. ואכן, על פי התמונה אם איבר נמצא מחוץ ל־$B$ אז הוא בהכרח מחוץ ל־$A$ – כי כל איבר בתוך $A$ הוא גם בתוך $B$.

הוכחה

הוכחה לשקילות הטאוטולוגית בין שני הפסוקים באמצעות לוח אמת פשוט:

$$a\to b\iff \neg b\to \neg a$$

$\neg b\to \neg a$	$\neg a$	$\neg b$	$a\to b$	$b$	$a$
T	F	F	T	T	T
F	F	T	F	F	T
T	T	F	T	T	F
T	T	T	T	F	F

עמודת ה־$a\to b$ שווה לעמודת ה־$\neg b\to \neg a$ בכל צירוף ערכים אפשרי של $a,b$, כלומר שהביטויים שקולים טאוטולוגית:

$a\to b\equiv \neg b\to \neg a$

$\blacksquare$

שימושים

מודוס טוֹלֶּנְס

ערך מורחב – מודוס טולנס

עקרון המודוס טולנס קובע שאם נתון $a\to b$ ו־$\neg b$, אזי גם $\neg a$.

עיקרון זה מוכח על ידי שימוש בעקרון הקונטרה פוזיטיב כטאוטולוגיית בסיס. המעבר לכלל ההיסק הבא מתבצע תוך שימוש במודוס פוננס, שקובע שמרגע שקיימת גרירה $p\to q$, והרישא $p$ אמת, אז גם הסיפא $q$ אמת.

• נתון $a\to b$, ולכן על פי הקונטרה פוזיטיב מתקיים $\neg b\to \neg a$.
• היות שנתון $\neg b$, על פי עקרון המודוס פוננס והמסקנה הקודמת ($\neg b\to \neg a$), גם הסיפא $\neg a$ מתקיימת.
• מכאן שבצירוף הנתונים $a\to b$ ו־$\neg b$ אכן ניתן להסיק את $\neg a$, כך שעקרון המודוס טולנס מתקיים.|

תנאים הכרחיים

ערך מורחב – תנאי הכרחי

עקרון המודוס טולנס הוא זה שמאפשר את קיומם של תנאים הכרחיים – טענות שאם הן לא מתקיימות, ניתן להסיק בוודאות שטענה אחרת גם היא לא מתקיימת.

$b$ הוא תנאי הכרחי לקיומה של טענה $a$ אם $a\to b$. במצב שבו התנאי אינו מתקיים, כלומר $\neg b$, אזי על פי הקונטרה פוזיטיב ועקרון המודוס טולנס שנובע ממנו, בהכרח הטענה $a$ אינה נכונה, ומתקיים $\neg a$. במילים אחרות – התנאי הכרחי, מפני שאם הוא לא מתקיים, אזי גם הטענה בהכרח לא מתקיימת.

למשל, נתון ש־”אם יורד גשם, אז אני לובש מעיל“, ובנוסף ש־”אני לא לובש מעיל“. לכן, בהכרח גם לא יורד גשם. יש הכרח שתתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“, מפני שאילולא כן, בוודאות ”לא יורד גשם“. הגרירה לא בהכרח נכונה בכיוון ההפוך, מכיוון שיכולה להתקיים הטענה ”אני לובש מעיל“ מבלי שירד גשם.

ראו גם

• גרירה לוגית
• הוכחה

לקריאה נוספת

• Converse, Inverse, and Contrapositive of Conditional Statement - ChiliMath, ChiliMath, ‏4 בפברואר 2020
• Frederick T. Sheldon, Review 1.2 | Conditional Statement Forms, Oak Ridge National Laboratory, Computer Science and Mathematics Division
• Audun Jøsang, 2016, Subjective Logic; A formalism for Reasoning Under Uncertainty Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קונטרה פוזיטיב בוויקישיתוף