מחלקה (תורת החבורות)

תורת החבורות
(הופנה מהדף קוסט)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה היא קבוצה של איברי חבורה אשר מתקבלת מהכפלת אברי באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה מהווה חלוקה של לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה בחבורה נקרא האינדקס של ב-, ומסומן . אם סופית, אינדקס זה שווה ל-.

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה ותת-החבורה שלה . הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא , והוא אינו סגור לכפל.

הגדרה פורמליתעריכה

תהא   חבורה ותהא   תת-חבורה שלה. יהא   איבר כלשהו, אז הקבוצה   תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של   ב- , והקבוצה   תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של   ב- .

תכונותעריכה

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה  , המחלקות (מאותו צד) של   מהוות חלוקה של   לקבוצות זרות.

הוכחה: אם   אז לפי הגדרה קיימים   כך ש-  ולכן  . מכיוון ש- , נובע ש- , ולכן  . הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של   מהוות חלוקה של  . לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה   שווה למספר האיברים ב- . במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליותעריכה

אם לתת חבורה מסוימת   מתקיים  , כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמהעריכה

ניקח את החבורה  , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור.   היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:  . נציגים לדוגמה מהמחלקה   הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה   הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצונייםעריכה