מתאם

מִתְאָם או קשר (באנגלית: Association) הוא תכונה של קשר סטטיסטי בין שני משתנים. קשר זה אינו חייב להיות קשר סיבתי. בדרך כלל עוצמת הקשר נמדדת על ידי מדד סטטיסטי המכונה "מקדם מתאם" או "מקדם קשר". יש מספר רב של מקדמי קשר, השונים זה מזה באופן שבו מוגדר הקשר בין המשתנים. אופן הגדרת הקשר תלוי גם בסולמות המדידה של המשתנים.

בדרך כלל ערכיהם של מקדמי הקשר נעים בין 1- ל-1, או בין 0 ל-1. ערך של 0 מציין בדרך כלל חוסר קשר בין המשתנים (במובן שבו הוגדר הקשר), וערכים של 1 או של 1- מציינים בדרך כלל קשר מלא בין המשתנים.

היסטוריה

מושג המתאם הופיע לראשונה במחקריו של סר פרנסיס גולטון. הוא התעניין באינטליגנציה האנושית וניסה לברר האם אינטליגנציה עוברת בתורשה. לשם כך היה זקוק למדד שיבטא את הקשר המשותף (Co-relation) בין רמת האינטליגנציה של דור מסוים ורמת האינטליגנציה של הדור הקודם. קשר משותף חזק היה מספיק לדעתו להוכיח גם קשר סיבתי – האינטליגנציה מועברת בירושה מאבות לבנים. עם זאת, הבין כי החשיבות המדעית של מדידת הקשר בין שני משתנים משתרעת מעבר לבעיה הספציפית בה התעניין, ולכן פיתח את רעיונותיו גם על ידי מחקר של נתונים אחרים, כגון תכונות פיזיקליות של בני אדם ושל צמחים.

גולטון פרסם את מסקנותיו בשלושה מאמרים שהופיעו בשנים 1885–1888. מקדם המתאם שהציע התבסס על ההנחה שלשני המשתנים הנמדדים יש התפלגות משותפת דו-נורמלית. החישוב שלו התבסס על שרטוט הנתונים בגרף, מדידה פיזית של שיפוע קו הרגרסיה בין המשתנים, וחישוב סטיות התקן שלהם (אם כי לא במפורש – מושג סטיית התקן הופיע והוגדר מאוחר יותר).

גולטון עמד גם על תכונותיו של מקדם המתאם שחישב המוכרות לנו כיום: ערך של 1 מציין קשר חיובי מלא, ערך 0 מציין חוסר קשר, וכו'. הוא היה מודע לכך שהמקדם שחישב מודד קשר ליניארי בלבד בין המשתנים, והבהיר כי אין להסיק קשר סיבתי בין המשתנים רק על סמך מתאם גבוה ביניהם.

קרל פירסון המשיך את עבודתו של גולטון ובנה את המסגרת המתמטית שבה שולב מקדם המתאם, ביחד עם המושג של סטיית התקן, וזאת בשני מאמרים שפרסם ב-1893 וב-1896. במאמרים אלה הגדיר את מקדם המתאם הקרוי על שמו "מקדם פירסון", והראה כי אין צורך בהנחת ההתפלגות הנורמלית של גולטון.

מקדם המתאם של פירסון הוגדר למדידת הקשר בין שני משתנים כמותיים. פירסון ניסה לפתח מקדם דומה למדידת הקשר בין שני משתנים איכותיים (קטגוריים), שנתוניהם מוצגים בלוח שכיחות דו-ממדי. ב-1900 הוא הציג את סטטיסטי חי-בריבוע, שמבטא רעיון דומה לרעיון של מקדם המתאם. מקדם המתאם התבסס על ההפרשים בין התצפיות והממוצע שלהן. סטטיסטי חי בריבוע מבוסס על ההפרש בין מספר התצפיות בתא מסוים בלוח השכיחות הדו-ממדי, והמספר הצפוי של התצפיות באותו תא בהנחה כי יש אי תלות בין משתנים.

במקביל לפיתוח מדד חי בריבוע, ניסה פירסון גם להכליל את מקדם המתאם למדידת קשר בין שני משתנים איכותיים על ידי הכנסת הנחה על קיומו של משתנה נסתר (לטנטי). לדוגמה, אם יש משתנה המתאר את גובהו של אדם באוכלוסייה מסוימת כ"נמוך" או "גבוה", ערכים אלה נקבעים על ידי התפלגות הגבהים של האנשים באוכלוסייה, וניתן להניח כי זוהי התפלגות נורמלית. כאשר דנים בשני משתנים, טען פירסון כי ניתן להניח שקיימים שני משתנים נסתרים עם התפלגות משותפת דו-נורמלית. תחת הנחה זו פיתח את מקדם המתאם הטטרכורי, ומאוחר יותר את מקדם המתאם הפוליכורי.

הגישה הזו של פירסון נתקלה בהתנגדות של הסטטיסטיקאי אדני יול, שטען כי במקרים רבים ההנחה הבסיסית של פירסון לפיה מקורם של הנתונים האיכותיים נמצא בהתפלגות דו-נורמלית שאינה ניתנת לצפייה אינה נכונה. יול הציג גישה אלטרנטיבית שמבוססת על הערכים הנצפים בלוח השכיחות, ללא הנחה של התפלגות נסתרת או השוואה למצב של אי תלות. רוב הסטטיסטיקאים קיבלו את גישתו של יול, ופיתחו מדדי קשר שהתבססו על העקרונות שלו. עם זאת, גישתו של פירסון המניחה התפלגות נסתרת מהווה בסיס למודלים סטטיסטיים אחרים העוסקים בניתוח הקשר בין משתנים איכותיים למשתנים אחרים, כגון רגרסיה לוגיסטית.

דוגמאות

מקדם המתאם של פירסון

ערך מורחב – מתאם פירסון

המדד המוכר ביותר למדידת הקשר בין שני משתנים כמותיים הוא ״מקדם המתאם של פירסון״ (לעיתים קרובות נקרא בפשטות "מתאם פירסון" או אף ״מקדם המתאם״). מדד זה מודד את עוצמת הקשר הליניארי בין שני משתנים כמותיים, כאשר ערך של 1 מציין קשר ליניארי חיובי מלא, וערך של 1- מציין קשר ליניארי שלילי מלא. ערך של 0 מציין חוסר קשר ליניארי. עם זאת ייתכנו מצבים בהם ערכו של מתאם פירסון שווה לאפס, ועדיין קיים קשר ואף תלות סטטיסטית בין המשתנים, אך הקשר אינו ליניארי. זה קורה למשל כאשר ההתפלגות המשותפת של שני המשתנים סימטרית סביב אפס. מקדם זה נקרא באנגלית "correlation coefficient", ובשפה יום יומית בעברית נהוג לכנות מתאם על פי מקדם זה כ-"קורלציה", למרות שבאנגלית המילה "correlation" אינה משמשת כביטוי כללי עבור קשר בין שני משתנים.

מקדם המתאם של ספירמן

ערך מורחב – מתאם ספירמן

מקדם ספירמן הוא הכללה של מתאם פירסון שמתאימה למקרה בו לפחות אחד משני המשתנים נמדד בסולם סדר, והמשתנה השני יכול להימדד בסולם סדר, רווח או מנה. כדי לחשב את מתאם ספירמן מדרגים את הערכים של כל אחד מהמשתנים, כך שהתצפית שערכה הנמוך ביותר מקבלת דרגה השווה ל-1 וכן הלאה. לדוגמה, אם ערכי משתנה אחד הם "גבוה", "נמוך" ו-"בינוני", הדרגות יהיו 3, 1 ו-2 בהתאמה. לאחר מכן, מפעילים את נוסחת החישוב של מתאם פירסון על דרגות הערכים במקום על הערכים עצמם.

מקדם הקשר של קראמר

ערך מורחב – מתאם קרמר

מקדם הקשר של קראמר (המסומן בדרך כלל באות V) פותח על ידי הסטטיסטיקאי השוודי הראלד קראמר. מקדם זה מתאים למדידת עצמת הקשר בין שני משתנים קטגוריים. הוא מבוסס על ערכו של סטטיסטי חי-בריבוע המיועד לבדיקת ההשערה הסטטיסטית של אי תלות בין המשתנים, כאשר ערך זה מתוקנן לפי מגודל המדגם, מספר הקטגוריות של כל אחד מהמשתנים והוצאת שורש. ערכו של מקדם המתאם של קראמר נע בין 0 ל-1, כאשר ערך 0 מציין אי תלות סטטיסטית בין המשתנים.

מקדם המתאם התוך-אשכולי

מקדם המתאם התוך-אשכולי (Intraclass correlation או ICC) מודד את עצמת הקשר בין משתנה כמותי ומשתנה קטגורי. המקדם, שפיתח רונלד פישר, מבוסס על הפרמטרים של מודל ניתוח שונות חד כיווני. מודל זה משווה בין הממוצעים של משתנה כמותי הנמדד באופן בלתי תלוי במספר קבוצות. המדד הוא היחס בין השונות שבין הקבוצות ובין השונות הכוללת, וערכו נע בין 0 ל-1.

מדדים נוספים של תלות בקשר משתנים אקראיים

המידע הניתן על ידי מקדם המתאם לא מספיק על מנת להגדיר את מבנה התלות בין משתנים אקראיים. מקדם המתאם מגדיר את מבנה התלות לחלוטין רק במקרים מאוד מסוימים, למשל כאשר ההתפלגות היא התפלגות רב-נורמלית (ראה דיאגרמה בתחילת העמוד). במקרה של התפלגות אליפטית הוא מאפיין את אליפסות הצפיפות השווה. עם זאת, הוא לא מאפיין לחלוטין את מבנה התלות.

מתאם מרחק ומתאם בראוני (Brownie coeffiecient) הובאו על מנת לטפל במחסור של מתאם פירסון שיוכל להיות אפס עבור משתנים תלויים אקראיים; מתאם מרחק אפסי ומתאם בראוני אפסי מצביעים על חוסר תלות.

מתאם וסיבתיות

קשר סיבתי בין שני משתנים יגרום למתאם גבוה בין שני המשתנים. לעומת זאת, מתאם גבוה אמנם מעיד על קשר חזק בין שני משתנים, אך אינו בהכרח מעיד על קשר סיבתי ביניהם. מתאם גבוה בין שני משתנים יכול להתקבל באופן מקרי לחלוטין, למשל, כאשר קיים משתנה שלישי המשפיע על ערכי שני המשתנים הנמדדים.

אף על פי כן, מתאם גבוה הוא אחד הקריטריונים של ברדפורד היל להסקת סיבתיות. לכן, לרוב מתאם גבוה יוביל לבדיקה האם יש קשר סיבתי בין המשתנים.

ראו גם

• שונות משותפת
• מדדי קשר
• סיבתיות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מתאם בוויקישיתוף

• The Development of Correlation and Association in Statistics - Jake D. Brutlag
• יוסי לוי, האם החסידה מביאה ילדים לעולם?, באתר "נסיכת המדעים"
• יוסי לוי, כשפירסון ויול הסירו את הכפפות, באתר "נסיכת המדעים"
• יוסי לוי, סטטיסטיקה רעה: אי הבחנה בין מתאם לסיבתיות, באתר "נסיכת המדעים"
• Crash Course - על ההבחנה בין מתאם/קורלציה לסיבתיות
• מתאם, באתר MathWorld (באנגלית)
• מתאם, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מתאם (סטטיסטיקה), דף שער בספרייה הלאומית