קירוב WKB קרוי על שם הפיזיקאים : גרגור ונצל , הנס קרמרס ולאון ברילואן (W entzel–K ramers–B rillouin), אשר פיתחו אותה בשנת 1926 .
בשנת 1923 , פיתח המתמטיקאי הבריטי הרולד ג'פרי שיטה כללית של קירוב לפתרונות משוואות ליניאריות דיפרנציאליות מסדר שני . שנתיים מאוחר יותר פותחה משוואת שרדינגר וונצל , קרמרס , וברילואן שלא היו מודעים לעבודה המוקדמת של ג'פרי , פיתחו קירוב ליניארי כללי שניתן ליישמו כפתרון למשוואת שרדינגר .[ 1]
מקורות מוקדמים יותר לשיטה ניתן למצוא בעבודתם של : קרליני (1817 ), ליוביל (1837 ), גרין 1837 , ריילי (1912 ) וגנז בשנת 1915 . יש הסבורים כי ניתן לזהות את ז'וזף ליוביל וג'ורג' גרין כאבות השיטה ולכן קירוב זה ידוע גם כקירוב LG או קירוב ליוביל -גרין (L iouville–G reen).[ 2]
תרומתם של ונצל , קרמרס , וברילואן לשיטה הייתה הכללת הטיפול של נקודות מפנה (אנ' ) , על ידי "תפירת" הפתרונות התנודתיים והזמניים (אנ' ) משני צדי נקודת המפנה. לדוגמה, פתרון משוואת שרדינגר עם גבעת אנרגיה פוטנציאלית (אזור סביב מקסימום מקומי של אנרגיה פוטנציאלית).
באופן כללי, תאוריית WKB היא שיטה למציאת קירוב לפתרון משוואות דיפרנציאליות אשר נגזרתה הגבוהה ביותר מוכפלת בפרמטר קטן,
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
d
n
y
d
x
n
+
a
(
x
)
d
n
−
1
y
d
x
n
−
1
+
⋯
+
k
(
x
)
d
y
d
x
+
m
(
x
)
y
=
0
(
1
)
{\displaystyle \epsilon {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a(x){\frac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+m(x)y=0~\quad (1)}
מניחים פתרון בצורת הרחבה לטור אסימפטוטי :
y
(
x
)
∼
exp
[
1
δ
∑
n
=
0
∞
δ
n
S
n
(
x
)
]
(
2
)
{\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\quad (2)}
בגבול שבו
δ
→
0
{\displaystyle \delta \rightarrow 0}
מניחים משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני כגון:
ϵ
2
d
2
y
d
x
2
=
Q
(
x
)
y
(
3
)
{\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\quad (3)}
כאשר
Q
(
x
)
≠
0
{\displaystyle Q(x)\neq 0}
מציבים:
y
(
x
)
=
exp
[
1
δ
∑
n
=
0
∞
δ
n
S
n
(
x
)
]
(
4
)
{\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\quad (4)}
ומקבלים:
ϵ
2
[
1
δ
2
(
∑
n
=
0
∞
δ
n
S
n
′
)
2
+
1
δ
∑
n
=
0
∞
δ
n
S
n
″
]
=
Q
(
x
)
(
5
)
{\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\quad (5)}
עבור הסדר המוביל, אפשר לקרב את משוואה
(
5
)
{\displaystyle \quad (5)}
ϵ
2
δ
2
S
0
′
2
+
2
ϵ
2
δ
S
0
′
S
1
′
+
ϵ
2
δ
S
0
″
=
Q
(
x
)
(
6
)
{\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x)\quad (6)}
בגבול שבו
δ
→
0
{\displaystyle \delta \rightarrow 0}
ϵ
2
δ
2
S
0
′
2
∼
Q
(
x
)
(
7
)
{\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)\quad (7)}
כך ש-
δ
{\displaystyle \delta }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
הצבת 2 גדלים אלו כשווים והשוואת החזקות של
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
0
:
S
0
′
2
=
Q
(
x
)
(
8
)
{\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x)\quad (8)}
המוכרת כמשוואה איקונלית (אנ' ) עם הפתרון:
S
0
(
x
)
=
±
∫
x
0
x
Q
(
t
)
d
t
(
9
)
{\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\quad (9)}
השוואת החזקות של
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
1
:
2
S
0
′
S
1
′
+
S
0
″
=
0
(
10
)
{\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0\quad (10)}
המוכרת כמשוואת מעבר (אנ' ) עם הפתרון:
S
1
(
x
)
=
−
1
4
ln
Q
(
x
)
+
k
1
(
11
)
{\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1}\quad (11)}
כאשר
k
1
{\displaystyle k_{1}}
מאחר ש-
S
0
{\displaystyle S_{0}}
(
3
)
{\displaystyle \quad (3)}
צירוף ליניארי של זוג פתרונות כדלהלן:
y
(
x
)
≈
c
1
Q
−
1
4
(
x
)
exp
[
1
ϵ
∫
x
0
x
Q
(
t
)
d
t
]
+
c
2
Q
−
1
4
(
x
)
exp
[
−
1
ϵ
∫
x
0
x
Q
(
t
)
d
t
]
(
12
)
{\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\quad (12)}
ניתן לקבל פתרונות לסדרים גבוהים יותר
(
n
≥
2
)
{\displaystyle (n\geq 2)}
2
S
0
′
S
n
′
+
S
n
−
1
″
+
∑
j
=
1
n
−
1
S
j
′
S
n
−
j
′
=
0
(
13
)
{\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0\quad (13)}
עריכה
משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן במימד אחד היא:
−
ℏ
2
2
m
d
2
d
x
2
Ψ
(
x
)
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
)
=
E
Ψ
(
x
)
(
14
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)\quad (14)}
ניתן לכתוב משוואה זו בצורה אחרת:
d
2
d
x
2
Ψ
(
x
)
=
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
Ψ
(
x
)
(
15
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\quad (15)}
פונקציית הגל ניתנת להגדרה על ידי אקספוננט של פונקציה אחרת,
Φ
{\displaystyle \Phi }
פעולה ), אשר יכולה להיות גם פונקציה מרוכבת :
Ψ
(
x
)
=
e
Φ
(
x
)
(
16
)
{\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)}~\quad (16)}
כך ש:
Φ
″
(
x
)
+
[
Φ
′
(
x
)
]
2
=
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
(
17
)
{\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\quad (17)}
כאשר
Φ
′
{\displaystyle \Phi '}
Φ
{\displaystyle \Phi }
x
{\displaystyle x}
הנגזרת
Φ
′
{\displaystyle \Phi '}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Φ
′
(
x
)
=
A
(
x
)
+
i
B
(
x
)
(
18
)
{\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x)~\quad (18)}
ואז משרעת פונקציית הגל היא
exp
[
∫
x
A
(
x
′
)
d
x
′
]
{\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!~}
פאזה היא:
∫
x
B
(
x
′
)
d
x
′
{\displaystyle \int ^{x}B(x')dx'\,\!~}
משוואת שרדינגר מתחלקת ל-2 משוואות: אחת עבור החלק הממשי
(
19
)
{\displaystyle \quad (19)}
דמיוני
(
20
)
{\displaystyle \quad (20)}
A
′
(
x
)
+
A
(
x
)
2
−
B
(
x
)
2
=
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
(
19
)
{\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)~\quad (19)}
B
′
(
x
)
+
2
A
(
x
)
B
(
x
)
=
0
(
20
)
{\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0~\quad (20)}
לאחר מכן, משתמשים בקירוב הסמי-קלאסי , קירוב WKB. משמעות הדבר היא כי כל פונקציה מפותחת כטור חזקות של קבוע פלאנק המצומצם ,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
1
ℏ
{\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}}
על מנת להשיג גבול קלאסי טוב, יש צורך להתחיל עם חזקה גבוהה של קבוע פלאנק המצומצם ,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
A
(
x
)
=
1
ℏ
∑
n
=
0
∞
ℏ
n
A
n
(
x
)
(
21
)
{\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)~\quad (21)}
B
(
x
)
=
1
ℏ
∑
n
=
0
∞
ℏ
n
B
n
(
x
)
(
22
)
{\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)~\quad (22)}
עבור "סדר 0" ניתן להביע את
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
0
(
x
)
2
−
B
0
(
x
)
2
=
2
m
(
V
(
x
)
−
E
)
(
23
)
{\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\quad (23)}
A
0
(
x
)
B
0
(
x
)
=
0
(
24
)
{\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;\quad (24)}
הנגזרות הראשונות
A
′
(
x
)
{\displaystyle A'(x)}
B
′
(
x
)
{\displaystyle B'(x)}
1
ℏ
{\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}}
1
ℏ
2
{\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}
מצד אחד, אם המשרעת משתנה לאט יחסית בהשוואה לפאזה
(
A
0
(
x
)
=
0
)
{\displaystyle (A_{0}(x)=0)}
B
0
(
x
)
=
±
2
m
(
E
−
V
(
x
)
)
(
24
)
{\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\quad (24)}
המשוואה שלעיל,
(
24
)
{\displaystyle \quad (24)}
אנרגיה הכללית גדולה יותר מהאנרגיה הפוטנציאלית
(
E
>
V
(
x
)
)
{\displaystyle (E>V(x))}
תנועה קלאסית .
אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל :
Ψ
(
x
)
≈
C
0
e
i
∫
d
x
2
m
ℏ
2
(
E
−
V
(
x
)
)
+
θ
2
m
ℏ
2
(
E
−
V
(
x
)
)
4
(
25
)
{\displaystyle \Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}~\quad (25)}
מצד שני, אם הפאזה משתנה לאט יחסית בהשוואה למשרעת
(
B
0
(
x
)
=
0
)
{\displaystyle (B_{0}(x)=0)}
A
0
(
x
)
=
±
2
m
(
V
(
x
)
−
E
)
(
26
)
{\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\quad (26)}
המשוואה שלעיל,
(
26
)
{\displaystyle \quad (26)}
אנרגיה הפוטנציאלית גדולה יותר מהאנרגיה הכללית
(
E
<
V
(
x
)
)
{\displaystyle (E<V(x))}
מנהור קוונטי .
אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, כמקודם, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל :
Ψ
(
x
)
≈
C
+
e
+
∫
d
x
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
+
C
−
e
−
∫
d
x
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
4
(
27
)
{\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}~\quad (27)}
2 הפתרונות המקורבים למשוואת שרדינגר , הן
(
25
)
{\displaystyle \quad (25)}
(
27
)
{\displaystyle \quad (27)}
סינגולריים בנקודת המפנה או נקודת ה"תפר", כאשר
E
=
V
(
x
)
{\displaystyle E=V(x)}
תקפות הקירובים היא מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל . מעל גבעת הפוטנציאל החלקיק מתנהג כגל חופשי - פונקציית הגל אוסצילטורית . מתחת גבעת הפוטנציאל החלקיק עובר שינויים אקספוננטציאלים במשרעת .
על מנת להבטיח את הגלובליות של קירוב WKB עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל נדרש למצוא פתרון מקורב בנקודות המפנה שבהן
E
=
V
(
x
)
{\displaystyle E=V(x)}
עבור נקודת המפנה הקלאסית,
x
1
{\displaystyle x_{1}}
E
=
V
(
x
1
)
{\displaystyle E=V(x_{1})}
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
{\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
=
U
1
⋅
(
x
−
x
1
)
+
U
2
⋅
(
x
−
x
1
)
2
+
⋯
(
28
)
{\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;\quad (28)}
עבור הסדר הראשון מתקבל:
d
2
d
x
2
Ψ
(
x
)
=
U
1
⋅
(
x
−
x
1
)
⋅
Ψ
(
x
)
(
29
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x)\quad (29)}
משוואה דיפרנציאלית זו ידועה כמשוואת איירי וניתן להביע את פתרונה במונחים של פונקציית איירי :
Ψ
(
x
)
=
C
A
Ai
(
U
1
3
⋅
(
x
−
x
1
)
)
+
C
B
Bi
(
U
1
3
⋅
(
x
−
x
1
)
)
(
30
)
{\displaystyle \Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\quad (30)}
"תפירת" פתרון זה עם 2 הפתרונות המקורבים מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל נעשית על ידי מציאת היחס בין המקדמים השונים,
C
0
,
θ
{\displaystyle C_{0},\theta }
C
+
,
C
−
{\displaystyle C_{+},C_{-}}
פונקציות איירי בגבול האסימפטוטי, הופכות לפונקציות אקספוננטציאליות כגון: סינוס וקוסינוס , ניתן להביע את היחס בין המקדמים השונים דרך "פונקציות הקשר":
C
+
=
+
1
2
C
0
cos
(
θ
−
π
4
)
(
31
)
{\displaystyle C_{+}=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad (31)}
C
−
=
−
1
2
C
0
sin
(
θ
−
π
4
)
(
32
)
{\displaystyle C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad (32)}
לסיכום, מתקבל פתרון מקורב גלובלי עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל .
Bender, Carl; Orszag, Steven (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X
Child, M. S. (1991). Semiclassical mechanics with molecular applications. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3
Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7
Hall, B.C. (2013). Quantum Theory for Mathematicians. Springer.
Liboff, Richard L. (2003). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5
Olver, Frank William John (1974). Asymptotics and Special Functions. Academic Press. ISBN 0-12-525850-X
Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. ISBN 981-238-019-1
Sakurai, J. J. (1993). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2
![{\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e7bdf46ebaaf725b4c259050ae5c48d2f785ec)
![{\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d352da11f764972096c52fcbbfad52f93600227f)
![{\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\quad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2a76c173e90698d41280b4b8bde8472d3e3da3)
![{\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\quad (12)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3046ae7ad017b4284f6b8fea6ad3b2c34d484c)
![{\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\quad (17)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d8590437f1443905d5d50de14599bd11b69a94)
![{\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67389fb4b6943f78942f1f49ec0f50cd16367f95)
![{\displaystyle \Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}~\quad (25)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c983bc6372e29cdcdc844482e11c79117970bc)
![{\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}~\quad (27)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a6124eea64319afaebf9b2bb4c4b09e7715165)
![{\displaystyle \Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\quad (30)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39abdb7515214c85b58a5c418917e6fb86d8c4ef)
