רדיקל של אידיאל

בתורת החוגים, הרדיקל של אידיאל $A$ בחוג $R$ הוא החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים המכילים את $A$. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל-$A$, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של $A$ בסימון ${\sqrt {A}}$. הרדיקל הוא אידיאל בעצמו, ותמיד $A\subseteq {\sqrt {A}}$.

הרדיקל של כל אידיאל הוא אידיאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידיאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההפך אינו נכון ($6\mathbb {Z}$ רדיקלי אבל אינו ראשוני).

הקשר בין אידיאלים רדיקליים של חוג הפולינומים $F[\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}]$ לבין יריעות אלגבריות הוא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).

תכונות

• אם $I,J$ אידיאלים בחוג $R$ ו-$I\subseteq J$, אז ${\sqrt {I}}\subseteq {\sqrt {J}}$.
• לכל שני אידיאלים $I,J$ מתקיים ${\sqrt {I+J}}={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}$.

דוגמאות

• בחוג השלמים, הרדיקל של האידיאל $n\mathbb {Z}$ נוצר על ידי הרדיקל של $n$: מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את $n$. לדוגמה, ${\sqrt {180\mathbb {Z} }}=30\mathbb {Z}$. מושג הרדיקל של אידיאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.
• לכל חוג $R$, הרדיקל של $({x}^{2})$ בחוג הפולינומים $R[x]$ הוא $(x)$.

קישורים חיצוניים

• רדיקל של אידיאל, באתר MathWorld (באנגלית)