רדיקל של אידיאל

בתורת החוגים, הרדיקל של אידיאל בחוג הוא החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים המכילים את . בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל-, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של בסימון . הרדיקל הוא אידיאל בעצמו, ותמיד .

הרדיקל של כל אידיאל הוא אידיאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידיאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההפך אינו נכון ( רדיקלי אבל אינו ראשוני).

הקשר בין אידיאלים רדיקליים של חוג הפולינומים לבין יריעות אלגבריות הוא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).

תכונותעריכה

  • אם   אידיאלים בחוג   ו- , אז  .
  • לכל שני אידיאלים   מתקיים  .

דוגמאותעריכה

  • בחוג השלמים, הרדיקל של האידיאל   נוצר על ידי הרדיקל של  : מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את  . לדוגמה,  . מושג הרדיקל של אידיאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.
  • לכל חוג  , הרדיקל של   בחוג הפולינומים   הוא  .