רציפות במידה אחידה

באנליזה מתמטית, רציפות במידה אחידה (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של פונקציות רציפות במידה שווה בקטע. במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם קרוב ל- אז קרוב ל- לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.

נגדיר באופן פורמלי: יהיו מרחב טופולוגי ו- מרחב מטרי. תהי (כלומר קבוצה של פונקציות רציפות מ- ל-).

  1. נאמר ש- רציפה במידה אחידה ב- אם לכל קיימת סביבה של כך שלכל ולכל מתקיים .
  2. נאמר ש- רציפה במידה אחידה אם היא רציפה במידה אחידה בכל .

כאשר נתון מרחב מטרי קומפקטי אז רציפות במידה אחידה מזדהה עם רציפות במידה שווה במידה אחידה (Uniformly Equicontinuous), כלומר: אם מרחב מטרי קומפקטי אז רציפה במידה אחידה אם ורק אם לכל קיים כך שלכל ולכל , אם אז .

תוצאה חשובה הנוגעת לתכונת הרציפות במידה אחידה היא משפט ארצלה-אסקולי, הגורס כי בהינתן מרחב טופולוגי קומפקטי , קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה, חסומה ורציפה במידה אחידה.

התוצאה הבאה גם היא נוגעת בתכונת הרציפות במידה אחידה, וניתן להיעזר בה בהוכחת משפט ארצלה-אסקולי: יהיו מרחב טופולוגי קומפקטי, מרחב מטרי קומפקטי ו-. אז חסומה כליל אם ורק אם רציפה במידה אחידה.

קישורים חיצונייםעריכה

  ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.