שברון (סטטיסטיקה)

שברון (באנגלית: quantile) הוא מונח בסטטיסטיקה, שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן $0\leq q\leq 1$) מהאוכלוסייה.

שברון של משתנה מקרי

יהי $X\sim F$ משתנה מקרי ממשי. נסמן את פונקציית ההתפלגות המצטברת

$$F(x)=P\left[X\leq x\right]$$

כאשר P מסמן הסתברות. השברון ה-q של X עבור $0\leq q\leq 1$ הוא הערך $\xi _{q}\in \mathbb {R}$ כך שמתקיים

$$F(\xi _{q})=P\left[X\leq \xi _{q}\right]=q$$

אם F פונקציה מונוטונית עולה ממש אזי $\xi _{q}=F^{-1}(q)$.

שברון של התפלגות אמפירית

נניח שדגמנו $n$ נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה:

$$\min _{i}X_{i}=X_{1}\leq X_{2}\leq ...\leq X_{n-1}\leq X_{n}=\max _{i}X_{i}$$

ונצייד את הנתונים בהתפלגות אמפירית:

$$F_{n}(x)={\frac {\#\{X_{i}\leq x\}}{n}}$$

השברון ה-q הוא המספר $\xi _{q}$ ש-$qn$ מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר $qn\notin \mathbb {Z}$ איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא ממוצע משוקלל של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן

$$m=\left\lfloor qn+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$$

ואז

$$\xi _{q}=X_{m}\cdot \left(m+1-(qn+{\frac {1}{2}})\right)+X_{m+1}\left(qn+{\frac {1}{2}}-m\right)$$

אנו רואים שכאשר $m=qn+1/2\in \mathbb {Z}$ אזי $\xi _{q}=X_{m}$.

דוגמה

לדוגמה, החציון $q={\frac {1}{2}}$. עבור n אי-זוגי ($n=2k+1$),‏ מתקיים $m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+2}{2}}\right\rfloor =k+1$ ואז

$$,\xi _{0.5}=X_{k+1}$$

ועבור n זוגי ($n=2k$) נקבל $m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =k$ ואז

$$\xi _{0.5}=X_{k}\cdot \left(k+1-(k+{\frac {1}{2}})\right)+X_{k+1}\left(k+{\frac {1}{2}}-k\right)={\frac {X_{k}+X_{k+1}}{2}}$$

שברונים שימושיים

מלבד החציון, שהוא השברון $q=1/2$, נפוצים בשימוש גם הרבעונים העליון $q=3/4$ והתחתון $q=1/4$, עשירונים, אחוזונים ואלפיונים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שברון בוויקישיתוף

• שברון, באתר MathWorld (באנגלית)