שברון (סטטיסטיקה)

שברון (באנגלית: quantile) הוא מונח בסטטיסטיקה, שמתייחס לנקודת חתך שמתחתיה נמצאה החלק ה-q (כאן $0\leq q\leq 1$ ) מהאוכלוסייה.

שברון של משתנה מקרי

יהי $X\sim F$ משתנה מקרי ממשי. נסמן את פונקציית ההתפלגות המצטברת $F(x)=P\left[X\leq x\right]$ כאשר P מסמן הסתברות. השברון ה-q של X עבור $0\leq q\leq 1$ הוא הערך $\xi _{q}\in \mathbb {R}$ כך שמתקיים $F(\xi _{q})=P\left[X\leq \xi _{q}\right]=q$ אם F פונקציה מונוטונית עולה ממש אזי $\xi _{q}=F^{-1}(q)$ .

שברון של התפלגות אמפירית

נניח שדגמנו $n$ נתונים מהתפלגות כלשהי, לא ידועה. נסדרם בסדר עולה: $\min _{i}X_{i}=X_{1}\leq X_{2}\leq ...\leq X_{n-1}\leq X_{n}=\max _{i}X_{i}$ ונצייד את הנתונים בהתפלגות אמפירית: $F_{n}(x)={\frac {\#\{X_{i}\leq x\}}{n}}$ השברון ה-q הוא המספר $\xi _{q}$ ש- $qn$ מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו. הגדרה זו קצת בעייתית כי לא ברור ממנה איך להתייחס לשברון כאשר $qn\notin \mathbb {Z}$ איננו שלם, וישנן מספר גישות לנושא. אחת הגיסות הנפוצות היא ממוצע משוקלל של שני הערכים הסמוכים למספר זה. נסמן $m=\left\lfloor qn+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$ ואז $\xi _{q}=X_{m}\cdot \left(m+1-(qn+{\frac {1}{2}})\right)+X_{m+1}\left(qn+{\frac {1}{2}}-m\right)$ אנו רואים שכאשר $m=qn+1/2\in \mathbb {Z}$ אזי $\xi _{q}=X_{m}$ .

דוגמה

לדוגמה, החציון $q={\frac {1}{2}}$ . עבור n אי-זוגי ( $n=2k+1$ ),‏ מתקיים $m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k+2}{2}}\right\rfloor =k+1$ ואז $,\xi _{0.5}=X_{k+1}$ ועבור n זוגי ( $n=2k$ ) נקבל $m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2k}{2}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =k$ ואז $\xi _{0.5}=X_{k}\cdot \left(k+1-(k+{\frac {1}{2}})\right)+X_{k+1}\left(k+{\frac {1}{2}}-k\right)={\frac {X_{k}+X_{k+1}}{2}}$