שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה $\ \mathbb {Q} [\zeta _{n}]$, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר $\ U_{n}$. בפרט, ממד ההרחבה הוא $\ \phi (n)$, כאשר $\ \phi$ היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של $\ \zeta _{n}$ הוא הפולינום הציקלוטומי $\ \Phi _{n}$.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם $\ \mathbb {Q} [\zeta _{1}]=\mathbb {Q} [\zeta _{2}]=\mathbb {Q}$; $\ \mathbb {Q} [\zeta _{3}]=\mathbb {Q} [\zeta _{6}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ (משום ש-$\ \zeta _{3}={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$); $\ \mathbb {Q} [\zeta _{4}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]$; $\ \mathbb {Q} [\zeta _{5}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {\frac {-(5+{\sqrt {5}})}{2}}}]$; ו- $\ \mathbb {Q} [\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}}]$. מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז $\ \mathbb {Q} [\zeta _{nm}]=\mathbb {Q} [\zeta _{n},\zeta _{m}]$. למשל, $\ \mathbb {Q} [\zeta _{24}]=\mathbb {Q} [\zeta _{3},\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$.

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי $\ \mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם $\ \phi (n)$ הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, $\ \cos({\frac {2\pi }{17}})={\frac {{\frac {{\sqrt {17}}-1}{2}}+{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}+{\sqrt {(3+{\sqrt {17}})({\sqrt {17}}-{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}})}}}{8}}$.

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי $\ \mathbb {Z} [\zeta _{p}]$. הדיסקרימיננטה של ההרחבה $\ \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q}$ היא $\ (-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}$, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של $\ p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- $\ {\sqrt {5}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{5}]$, ובדומה לזה $\ {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{7}]$). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי $\ \mathbb {Q} [\zeta _{m}]$. הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה $\ \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q}$ הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: $\ \langle p\rangle =\langle 1-\zeta _{p}\rangle ^{p-1}$.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009
• שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)