שיחה:משפטי האי-שלמות של גדל

יש בעייה בערך הזה, כי כידוע לא היה לגדל משפט אי שלמות אחד, אלא תורה שלמה. לפחות על שני המשפטים העיקריים (זה שמדברים עליו כאן, וזה שטוען שמערכת עקבית לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה) צריך לדבר פה (ולקרוא לערך "משפטי אי השלמות של גדל"?)

צריך גם לפרט על מה בדיוק הכוונה ב"מערכת לוגית מקיפה", מה הכוונה "משפטים באריתמטיקה", ולהסביר למה משפט אי השלמות שונה מפרדוקס השקרן - ויש שוני מהותי. כמו כן, יש לי הרגשה לא טובה מסגנון הכתיבה של הערך. הוא מתחיל בסיפור שלא ברור מה הוא קשור למשפטי אי השלמות של גדל עד שמגיעים כבר לאמצע הערך. צריך הסבר היסטורי כלשהו שקשור למשפטים, אבל אי אפשר לכתוב ככה.

כמובן, צריך גם לנסות ולכתוב את תיאור ההוכחה. אני לא מכיר את ההוכחה המלאה, אבל מה שאני, שהוא בעיקרו החלק הלא טכני, הוא אחד הרעיונות המתמטיים היותר יפים שנתקלתי בהם (לא שנתקלתי בהרבה), וחבל לא לכתוב אותם כאן.

אני מוכן לנסות ולשכתב את הערך הזה, אבל כאמור, זה יהיה שכתוב - לדעתי צריך לעשות כאן כמה שינויים רציניים, לא רק תוספות. מישהו מתנגד? רוצה לחוות דעה? אני אחכה שבוע שבועיים. גדי אלכסנדרוביץ' 12:01, 2 יולי 2004 (UTC)

הערך כפי שהוא כעת אינו יותר מאשר מבוא לא פורמלי לנושא, והוא מתאים, כך אני מקווה, לקורא שאינו מתמטיקאי. לדעתי אין צורך לשכתב את מה שיש, אלא להמשיך ולתת מידע נוסף לקורא בעל יכולת מתמטית מתקדמת. אני מציע שלא תחכה שבוע שבועיים אלא תתחיל מיד במלאכה, ותוסיף לערך את הסעיפים הבאים, שבהם יש מידע נוסף על הנושא, כולל גרעין של הוכחה או תיאור כללי של עקרונותיה. אם בעקבות ההרחבות שלך תגלה שיש מה לשכתב במה שכבר קיים, הרגש חופשי לעשות זאת. דוד שי 16:36, 9 יולי 2004 (UTC)

הערות ושאלות

אינני מנוסה בעריכת מאמרים בויקיפדיה אז העדפתי לא לעשות שינויים במאמר עצמו. עם זאת, יש לציין שכמה מהדברים המצויינים במאמר אינם מדוייקים.

"מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך תחושה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח את הטענה, או לחילופין ניתן להפריכה (כלומר להוכיח שהטענה אינה נכונה)". למעשה, לאורך ההיסטוריה נתנו מעט מאוד מתמטיקאים את זעתם למושג "הוכחה"; עד למאה התשע-עשרה הסתפקו בד"כ בהוכחות לא פורמליות ולא מדוייקות, וחשוב יותר - מעולם, ככל הידוע לי, לא נוסח כלל של "כל דבר יכיח או ניתן לסתירה". אוקלידס הוא יוצא דופן חשוב באופן בו ניסה לטפל ב"הוכחה", אבל גם אצלו אני לא בטוח שיש סימוכין לכך שהוא הניח שהגיאומטריה היא תורה שלמה. עד פרגה לא ניסה איש לדון בהוכחות פורמליות, ועד הילברט והמשברים בתורת הקבוצות לא התייחס איש לשאלה האם כל טענה היא יכיחה או פריכה.

גדל לא הוכיח ש"לתחושה נפלאה זו אין כל בסיס". זו טענה חריפה וגורפת מדי. המשפטים שלו דנים במערכות הוכחה פורמליות, ואינם סותרים (למשל) את ההנחה שכל טענה בתורת המספרים היא או נכונה או לא נכונה, ואף ניתנת להכרעה במערכת חזקה מספיק (נכון שאין מערכת אחת שתספיק לכל הטענות, אבל לא ברור מדוע חייבים כזו). בהקשר זה, האיזכור של פרדוקס השקרן נכון כאנלוגיה, אבל גם מטעה קצת: לא מדובר על אמת ושקר, אלא על היכולת להוכיח משהו באופן פורמלי מאוסף רקורסיבי של אקסיומות. פעמים רבות אנשים מגזימים בפרשנות המשפט ומניחים שהוא מראה שיש טענות שהן "לא נכונות ולא לא נכונות".

בפסקה האחרונה יש טעות של ממש: "טענות שניתן להניחן אך לא להוכיחן או להפריכן מתוך המערכת עצמה (בדומה לאקסיומות של הגיאומטריה)". את האקסיומות של כל מערכת ניתן, כמובן, להוכיח בתוך המערכת: הוכחה של שורה אחת. זה שיש אקסיומות אותן לא ניתן "להצדיק" ע"י אקסיומות פשוטות יותר, בזה אין חידוש, וזה לגמרי לא מה שמשפטי גדל אומרים.

לבסוף שאלה: הערך המתאים בגירסה האנגלית של wikipedia כתוב היטב ו(כמעט) מדוייק לחלוטין. יש סיבה לא פשוט לתרגמו לעברית? (דוגמה לטעות בגירסה האנגלית:

Gödel's first incompleteness theorem shows that any such system that allows you to define the natural numbers is necessarily incomplete: it contains statements that are neither provably true nor provably false.

צריך להוסיף את ההנחה שהמערכת עקבית, אחרת כל טענה ניתנת להוכחה).

אלון

אלון,

1. אם אתה מרגיש שאתה רוצה ויכול לתרגם את הערך באנגלית - תבורך. רק שים לב להערה הקודמת של דוד שי, המעדיף כי לערך זה יהיו למעשה שני חלקים: מבוא ל"עמך", והסבר עמוק יותר לקוראים בעלי ידע מתמטי. כמובן, שאם אתה רוצה רק לתקן מה שנראה לך כטעות או הגזמה במאמר, עשה זאת. אם מישהו יחשוב שאינך צודק, כבר יתקן אותך שוב.
2. ממליץ, כי תירשם לויקיפדיה (בחר לך שם משתמש) ותרום לויקיפדיה, תחת אותו שם.

^^ דּוֹד1 02:33, 9 ספט' 2004 (UTC)

אלון, אתה יותר ממוזמן לקחת יוזמה ולתרגם את הערך האנגלי. אני די חושש מהערך הזה, וייתכן מאוד שהוא גדול עלי, למרות שלמדתי טיפה לוגיקה פורמלית והמושגים בגרסה האנגלית אינם זרים לי. ראוי להכיר לעומק לא רק את ההוכחה (ואני מכיר אותה בצורה שטחית בלבד, בלי להכיר את הלב הטכני שמעבר לשימוש במספרי גדל) אלא גם להכיר היטב את ההשלכות ואת ה"פילוסופיה" שסביב המשפט, וגם אותם אני מכיר בצורה שטחית יחסית. כאמור, אתה יותר ממוזמן להכניס בערך הזה כל תיקון שלדעתך נדרש, ואל תיתן לכך שאין לך ניסיון בויקיפדיה לעצור אותך - אם תעשה משהו לא נכון (ואני בספק אם זה יקרה) אני או מישהו אחר נתקן את זה. גדי אלכסנדרוביץ' 05:56, 9 ספט' 2004 (UTC)

לקריאה נוספת - הסבר

אלמוני הוסיף בסעיף "לקריאה נוספת" את "הרב ד"ר מיכאל אברהם, שתי עגלות וכדור פורח- על יהדות ופוסטמודרניזם, הוצאת בית אל, ה'תשס"ב". איני מסוגל להבין איך ספר בשם זה מתקשר לערך זה, ולכן הורדתי אותו. דוד שי 19:29, 16 יוני 2005 (UTC)

לא ברורה לי השאלה. אמנם לא קראתי את הספר, אבל שמו נראה לי מתאים בהחלט לפסקה השלישית בחלק "ההשפעה של המשפט". האם המייצג של ההשפעה הזאת צריך להיות דווקא ספר על יהדות ופוסטמודרניזם? על זה ניתן לתהות. טרול רפאים 19:41, 16 יוני 2005 (UTC)

הספר עוסק בהרחבה, בין השאר, בפילוסופיה של המתמטיקה ובמשמעויות של משפט אי השלמות (מדובר אגב בספר כבד ובכלל לא שטחי). למרות זאת אני מסכים שבסעיף "לקריאה נוספת" בערך זה יופיעו דווקא ספרים העוסקים רק או בעיקר במשפט זה, ולא כך המצב (אם זכרוני אינו מטעני) לגבי הספר החשוב הנ"ל. נתנאל 19:49, 16 יוני 2005 (UTC)

אגב, משמעות שם הספר - שתי העגלות הן מהסיפור על החזון אי"ש ובן גוריון, והכדור הפורח הוא מהבדיחה על המתמטיקאי שהתועים בכדור פורח שאלו אותו: איפה אנחנו? והוא ענה: בכדור פורח (כלומר, פתיחה לשאלת הרלבנטיות של המתמטיקה לעולם המעשי). נתנאל 19:54, 16 יוני 2005 (UTC)

ומה הקשר בין סיפור שתי העגלות ובין משפט אי השלמות של גדל ? האם יש בעגלה הריקה של "החזון איש" שמץ ממה שיש בעגלה המלאה של גדל ? דוד שי 19:58, 16 יוני 2005 (UTC)

כבר אינני זוכר את הפרטים בדיוק, אבל אני ממליץ לך לפחות להביט בספר. מנימת דבריך אני מתרשם (תאאא"ט) שאתה חושב שמדובר בספר מסוג "כמה אנחנו הדתיים יותר טובים מהחילוניים הריקנים", ולא היא. זה ספר שעורך דיון מעמיק בתפיסת עולם אנליטית מול תפיסת עולם סינתטית (על בסיס המינוחים של קאנט) והוא לא שייך לז'אנר ספרי "האמת הנפלאה 5". כאמור, קראתי את הספר מזמן וגם כשקראתי לא הבנתי הכול, אבל בודאי מדובר בספר שזוקק התייחסות רצינית. נתנאל 20:08, 16 יוני 2005 (UTC)

מיכאל אברהם טוען בספרו כנגד העמדה ה'אנליטית' השוללת טענה שאיננה מוסקת דדוקטיבית מהנחות היסוד. אברהם מצדד בגישה 'סינטטית' המכירה בקיומה של 'אינטואיציה' באדם המאפשרת לו להגיע לאמיתות אובייקטיביות (למעוניין/ת, יש תמצית קצרה בערך על המחבר). אברהם מסתייע בגדל (בחטיבה השלישית בספר, בשער התשיעי, בפרט בפרק ג) כדי לטעון שמערכת אכסיומטית-אנליטית איננה כריעה (כלומר לא ניתן להכריע באמצעותה על כל טענה האם נכונה היא או לא) ומערכת אינטואיטיבת עדיפה עליה ומוסיפה לכריעותה, שכן גדל הוכיח את משפטיו ע"י כך ש'יצא מחוץ' למערכת האכסיומטית של תורת המספרים. יש הבדל בין 'יכיחות' ל'אמיתיות', ועל כן האנליטיקנים צריכים לוותר על דרישתם הבלעדית להוכחה (אמנם גדל בהחלט הוכיח את משפטיו, אך מחוץ למערכת האכסיומטית של תורת המספרים. ועל כן טוען אברהם שבכל מערכת אכסיומטית עלולה להתגלות תופעה שכזו, ואע"פ שבמשפטים שאינם ניתנים להוכחה במערכת המקיפה ביותר שברשותנו לא נוכל להוכיח בצורה אחרת[כיון שכל הוכחה גדליאנית נזקקת ליציאה מחוץ למערכת האכסיומות], מספיקה האפשרות לקיומם של משפטים כאלה, שאמיתיים אך אינם ניתנים להוכחה, כדי לשלול את העמדה האנליטית, לפחות במובנה החזק. דיון קצר על השאלה האם מבנה החשיבה האנושי הוא אקסיומטי מכני ועל כן חשוף למשפטיו של גדל עורך אברהם בהערת שוליים בעמוד 349). אגב, לא קראתי את הנוגע לזה כעת אלא רק הצצתי ברפרוף בספר, ואני מסתמך בעיקר על הזיכרון.

ממרחק של כמה שעות אני רואה שסיבכתי יתר על המידה. הענין די פשוט. גדל הוכיח ש'יכיחות' (הינתנות להוכחה) איננה זהה עם 'אמיתיות'. אברהם רוצה ליישם את זה (בקל וחומר) גם על החשיבה האנושית. טענתו היא שאם נקבל רק מסקנות הנובעות דדוקטיבית מהנחות היסוד שלנו נפספס טענות אמיתיות מסויימות. כך הוא מציע לדחות את העמדה האנליטית, המכירה רק בנתוני החושים ובהיסקים דדוקטביים. אברהם עצמו מציע כלי נוסף לטעון טענות, 'אינטואיציה', שבאמצעותו ניתן לגלות גם את הטענות שהדדוקציה מפספסת.

שם הערך

(הגעתי לדף הזה תוך כדי עבודה על דפים המקושרים לחזון איש, ולהפעתי גיליתי שיחה על משפטי אי השלמות של גדל...)

מדוע לא משנים את שם הערך ל"משפטי אי השלמות של גדל", ברבים?

[אגב, לתהיית דוד שמלפני כמה חודשים - בספר הנ"ל מובאת הוכחה קצרה ופשוטה של משפטי גדל, וגם דיון בהשלכות הפילוסופיות שלהם.] הלל 22:35, 2 נובמבר 2005 (UTC)

עד כמה שאני מבין, אי שלמות היא צירוף סמיכות (אחרת היינו קוראים לערך משפט האי השלמות של גדל). אם כך מדוע לא לידע את הסומך כמו בצירופים: בית הספר, חבר הכנסת, חוסר הצדק, אי הסדר וכו'? --Enduser - שיחה 11:43, 9 במאי 2008 (IDT)

מצטרף לקריאה של Enduser, אלו לא משפטי האי שלמות אלא משפטי אי השלמות של גדל.אוריאלז - שיחה 01:32, 24 באוקטובר 2011 (IST)

אכן צריך לקרוא לערך משפטי אי-השלמות של גדל, ככה זה בעברית תקינה ינון גלעדי - שיחה 21:58, 3 בדצמבר 2014 (IST)

הערך חסר

יש בו רק מבוא לא פורמלי, וחסר החלק הפורמלי... Liransh 11:33, 16 בדצמבר 2006 (IST)

משפט האי שלמות של גדל הוא עניין לספר מתמטי שלם, לא לערך בוויקיפדיה, כך שהערך שלם למדי במובן הזה. טרול רפאים 20:45, 16 בדצמבר 2006 (IST)

נראה לי שאתה מגזים. את עיקרי הניסוח הפורמלי של המשפט ניתן ללמוד, למיטב הבנתי, במספר הרצאות בלבד. לדעת את ההוכחה על כל שלביה אולי מצריך ספר שלם, אבל את הרעיון היפה של מספרי גדל (שאין לו הד כרגע בערך כלל - ולעומת זאת, בערך האנגלי יש) אפשר להעביר כאן, ולו באופן חלקי. בהחלט יש עוד מה להוסיף לערך הזה. גדי אלכסנדרוביץ' 21:38, 16 בדצמבר 2006 (IST)

שאלה ?

אם לא ניתן להוכיח שהטענה אינה נכונה אז לא ניתן למצוא דוגמאה נגדית, מכאן הטענה נכונה לכל מטרה פרקטית .

תגדיר "מטרה פרקטית". לירן (שיחה,תרומות) 19:05, 30 באפריל 2007 (IDT)

שטויות מה שכתוב פה

אם נכליל את כל הנוסחאות שנובעות מתורה אקסיומטית(תורה שאנו נידע באלגוריתם סופי האם נוסחא מסויימת שייך אליה או לא) לאותה תורה אקסיומטית אזי מישפט האי שלמות הראשון קובע שלא נקבל תורה אקסיומטית

הטענה הזו אכן נובעת מן המשפט הראשון. היכן ה"שטויות"? עוזי ו. 21:41, 2 ביוני 2007 (IDT)

המשפט הבעייתי בערך הוא כנראה זה: "חשוב לציין שתנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של תורת המספרים, היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת.". ‏Harel‏ • שיחה 21:43, 2 ביוני 2007 (IDT)

גם זה נכון. כל עוד ניתן לזהות אילו נוסחאות הן אקסיומות, התורה אינה יכולה להיות עקבית ושלמה. אבל "אינסוף אקסיומות" הן לא "כל הנוסחאות שנובעות מ-". עוזי ו. 21:49, 2 ביוני 2007 (IDT)

אז כנראה באמת בעייה בהבנת הנקרא (שגם תקפה אותי, אני מודה). תודה עוזי. ‏Harel‏ • שיחה 21:50, 2 ביוני 2007 (IDT)

בעיה במבוא

עיינו בשיחה:קורט גדל. אותה הבעיה תקפה לכאן, כנראה כי הפסקה על גדל הועתקה מכאן (עוד דוגמה לבעייתיות העצומה שב"שכפול קוד" שכזה - אנא, המנעו ממנו). גדי אלכסנדרוביץ' 10:50, 20 בספטמבר 2007 (IST)

הידד לאלדד (הועתק משיחת המשתמש של אלדד)

אלדד חביב אלדד נחמד, אמור נא לי מה דעתך, "משפטי אי השלמות של גדל" או "משפטי האי שלמות של גדל" (העברתי היום מהראשון לשני). נדמה לי שכך צ"ל בעברית צחה. ‏Harel‏ • שיחה 22:07, 20 בדצמבר 2007 (IST)

אני הייתי הולך על השני, בתוספת מקף ("האי-שלמות"). אביעד המקורי • שיחה • בואו להתפעל 22:12, 20 בדצמבר 2007 (IST)

לא מקף עילי? ‏Harel‏ • שיחה 22:15, 20 בדצמבר 2007 (IST)

יש איזו נורמה בוויקיפדייתנו, שאני נמנה על תומכיה, להימנע ממקף עילי בכל עת, ועל אחת כמה וכמה בשמות ערכים. אבל זה מאוד עניין של טעם. אביעד המקורי • שיחה • בואו להתפעל 22:17, 20 בדצמבר 2007 (IST)

איך ה"אי השלמות" הזה שרד את עוזי מבחינה לשונית, זה נשגב מבינתי. ‏Harel‏ • שיחה 22:21, 20 בדצמבר 2007 (IST)

מסתבר שעוזי, אף כי הוא קונסיסטנטי, אינו שלם. או שמא להיפך. אביעד המקורי • שיחה • בואו להתפעל 22:22, 20 בדצמבר 2007 (IST)

טוב, הגעתי עכשיו גם לכאן :) נראית גם לי הצורה האי-שלמות. מקובל שאי ה... יכול להיות אי בשם כלשהו; מצד שני, בכל זאת נוהגים לכתוב גם אי-ה..., לדוגמה, אי-ההבנה נבעה מ... באשר למקף - מקף רגיל, ולא עילי. אין סיבה להשתמש במקף הזה (א) כאשר המקף הרגיל נפוץ ומקובל, (ב) למקף הרגיל יש אישור מדאורייתא (קרי, מהאקדמיה), ו-(ג) מסובך ומסורבל למדי לכתוב את המקף העילי. בכל זאת, המקף הרגיל נמצא על המקלדת, ואין צורך להפיק צירופי מקשים ולזכור מספרים מיוחדים כדי להפיק מקף עילי. אלדד • שיחה 00:27, 21 בדצמבר 2007 (IST)

עד כמה שזכור לי, "אי-" פירושו פשוט "לא". לכן נראה לי שצורה כמו "אי-השלמות" פשוט שגויה. אביעד המקורי • שיחה • בואו להתפעל 00:28, 21 בדצמבר 2007 (IST)

אי הוא אכן "לא" - אבל מדוע "אי-השלמות" תהיה צורה שגויה? אלדד • שיחה 00:30, 21 בדצמבר 2007 (IST)

ראו גם [1]. תומר 00:31, 21 בדצמבר 2007 (IST)

משום שסמיכות עובדת בעברית רק בין שני שמות עצם ("מרק גזר") או בין תואר ועצם ("גבה קומה"). אביעד המקורי • שיחה • בואו להתפעל 00:34, 21 בדצמבר 2007 (IST)

לתומר (לאחר התנגשות עריכה): תודה רבה, תומר. אני מכיר את אלי גיא (וגם אביעד, דרך אגב) - הוא פעיל בפורום התרגום והעריכה בתפוז, ודעותיו לא אחת מקובלות בעינינו. הקישור שהבאת מצוין, לטעמי. אלדד • שיחה 00:37, 21 בדצמבר 2007 (IST)

לאביעד - אכן. אפשר להמשיל את ה"אי" כאן למילה/תחילית "בלתי" או למילה/תחילית "לא": התשובה הבלתי-ראויה, האפשרות הבלתי מתקבלת על הדעת וכו', או האפשרות הלא-ראויה וכו'. אלדד • שיחה 00:44, 21 בדצמבר 2007 (IST)

אם כבר פתחנו את העניין, אז מעניין לעניין בעניין דומה במקצת: מה עמדתכם בעניין היושב-ראש או יושב-הראש? אני מצדד בדרך כלל בהקדמת הה"א לצירוף כולו: היושב-ראש, העורך-דין וכו'. אלדד • שיחה 00:51, 21 בדצמבר 2007 (IST)

שם

האם יש סיבה מיוחדת שהמשפטים נקראים משפטי האי שלמות וכו' ולא משפטי אי-השלמות וכו'? לתומי תיקנתי שניים או שלושה מופעים של זה באחד הקטעים בערך, ואחר כך גיליתי שזהו גם שם הערך. הלל שאל את אותה שאלה למעלה, אך לא קיבל תשובה. ירון • שיחה 23:15, 8 במרץ 2008 (IST)

במתמטיקה, וגם בתחומים אחרים, נהוג לקרוא לדברים על שם מי שהמציא אותם....טוקיוני 23:42, 11 במרץ 2008 (IST)

קרא את דבריי היטב. לא השמטתי את שם הממציא ("וכו'"), והשינוי המתבקש לדעתי הוא העברת ה"א הידיעה למקומה הנכון (צירוף סמיכות). ירון • שיחה 23:47, 11 במרץ 2008 (IST)

לגבי ה' הידיעה, כמובן שאתה צודק, טוקיוני 00:06, 12 במרץ 2008 (IST)

אז למה אף אחד לא מעביר למשפטי אי השלמות של גדל ומשנה את המופעים בערך עצמו? ראיתי שטובי העורכים של ויקי עברו על הערך ולא שינו את שמו, אז אני מהססת לעשות זאת בעצמי, אולי בכל זאת יש סיבה מיוחדת. Leia - שיחה 00:21, 12 במרץ 2008 (IST)

...וזו הפניה לכאן? אני לא מבינה.. Leia - שיחה 00:22, 12 במרץ 2008 (IST)

זו הסיבה!!! ברי"א • שיחה • מבן הטבע לאב הידע • ה' באדר ב' ה'תשס"ח • 01:03, 12 במרץ 2008 (IST)

העתקתי את הדיון מדף המשתמש של אלדד, ואני מוכרח להודות שאת הטיעונים בעד אי-השלמות הבנתי, ואת הטיעונים בעד האי-שלמות לא הבנתי. בנוסף מעולם לא שמעתי מישהוא אומר האי-שלמות, ובאותו אופן אני חושב שיושב-הראש מקובל הרבה יותר מהיושב-ראש, ויותר מזה ככה לימדה אותי המורה ללשון בבי"ס ומורים אף פעם לא טועים. טוקיוני 09:35, 12 במרץ 2008 (IST)

אם לנסות לסכם את הדיון שברי"א קישר אליו - ידוע של הנסמך קיים, באופן לא מפתיע, רק במקרים של סמיכות. סמיכות קיימת רק עבור שמות עצם ושמות תואר, ולכן אינה קיימת במקרה זה. כמו שאתה אומר 'המשפטים הלא-שלמים', ולא 'המשפטים לא-השלמים', כך יש להגיד 'משפטי האי-שלמות'. נדב - שיחה 11:41, 12 במרץ 2008 (IST)

קיבלתי. תודה! טוקיוני 17:39, 12 במרץ 2008 (IST)

לצערי, הדוגמה שלך לא מובנת לי. ה"אי שלמות" שבשם המשפט אינה מתייחסת למשפט עצמו, להבדיל מהדוגמה שלך שבה המשפטים הם לא שלמים (כלומר, זה לא "Godel's incomplete theorem"); היא מתייחסת לתכונה של תורות לוגיות מסויימות, שלא מתקיים בהן סוג מסויים של שלמות. כפי שנשמע לי יותר טבעי לומר "משפטי חוסר השלמות" ולא "משפטי החוסר שלמות" (אולי בטעות ודווקא הצורה השנייה תקינה) כך גם "משפטי אי השלמות" נשמעים לי טבעיים יותר. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 17:59, 12 במרץ 2008 (IST)

"משפטי גדל על האי-שלמות של תורות לוגיות מסויימות", או "משפטי גדל על אי-השלמות של תורות לוגיות מסויימות"? גם האוזן שלי מעדיפה את האפשרות השניה, אבל חוששני שנקבל כאן את אותה תשובה. עוזי ו. - שיחה 21:54, 12 במרץ 2008 (IST)

"אי-השלמות" נשמע טוב יותר מאשר "האי-שלמות". מלמד כץ • שיחה 12:51, 14 במרץ 2008 (IST)

את מה שאמרתי קודם, אמרתי כסיכום של הדיון שם. אני חושב שאנחנו זקוקים ללשונאי שיסביר לנו מה הצורה הנכונה. נדב - שיחה 15:10, 14 במרץ 2008 (IST)

ייתכן שיש כאן שתי אפשרויות (כך זה נראה). כדאי לפנות שוב לאלדד על מנת להתייעץ איתו שנית. מלמד כץ • שיחה 23:24, 14 במרץ 2008 (IST)

גם אני בעד "אי השלמות" בדומה ל"חוסר השלמות", "העדר השלמות" וכו'.. יחסיות האמת • ♥ • כ"ב בחשוון ה'תשס"ט 00:11:35

יש לי פה ספר שתרגם עמנואל לוטם, ושמו: "ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי-שלמות של קורט גדל". באופן אישי, בעיניי, זה סוגר את הסיפור. --אלעזר - שיחה 16:45, 25 בינואר 2011 (IST)

שאלות ההדיוט

יש לי כמה הערות לתוכן הערך. את חלקן ערכתי בעצמי, אך מכיוון שמעט הלוגיקה שלמדתי לא מאפשרת לי ממש לתקן את כולן, אפרוס אותן כאן:

1. משפטי האי שלמות של קורט גדל הינם צמד משפטים יסודיים בלוגיקה וענף החוקר את יסודות המתמטיקה. - מה זאת אומרת 'וענף החוקר...'? האם המשפטים הם ענף החוקר וגו'? האם המשפטים משתייכים לענף הזה? איך קוראים לו? לא ברור.
2. באופן כללי, ניתן לומר שגדל הוכיח... - בדרך כלל אני נוטה לנכש את כל מופעי ה'ניתן לומר' שאני מוצא, בהשראת מורי ורבי שממנו למדתי שאם ניתן לומר, צריך פשוט להגיד. יש לי תחושה שכאן ההסתייגויות של 'באופן כללי' ו-'ניתן לומר' מנסות לסייג את המשפט הבא אחריהן, אבל עושות זאת בצורה לא כל כך מוצלחת.
3. בשנת 1937 הוכיח גדל כי לא ניתן להפריך השערה זו במסגרת ZF+C ובשנת 1963 הוכיח פול כהן כי לא ניתן להוכיחה במסגרת ZF+C. - אני מניח שהם לא הוכיחו את אותו דבר, ושיש כאן טעות.

נדב - שיחה 23:56, 11 במרץ 2008 (IST)

בקשר ל-3, תסתכל טוב, אחד הוכיח שאי אפשר להפריך ואחד שאי אפשר להוכיח. דניאל ב. 00:02, 12 במרץ 2008 (IST)

תודה. אולי כדאי לשנות את הניסוח כדי להבהיר נקודה זו (אלא אם כן נראה לכם שאני האידיוט היחיד שלא ישים לב - מסקנה הגיונית בהחלט) נדב - שיחה 00:09, 12 במרץ 2008 (IST)

תיקנתי את 1,2 לפי הערותיך, תודה. טוקיוני 00:13, 12 במרץ 2008 (IST)

תודה. רק לוודא שהבנתי נכון - המשפטים הם ענף במתמטיקה? נדב - שיחה 00:15, 12 במרץ 2008 (IST)

לא! לוגיקה זה הענף במתמטיקה. אם אתה יכול לשפר את הניסוח, לך על זה. טוקיוני 00:20, 12 במרץ 2008 (IST)

השפעות על מדעי המחשב

מישהוא יכול להוסיף פיסקה על עבודתו של טיורינג, והשפעות משפטי גדל על מדעי המחשב? טוקיוני 00:16, 12 במרץ 2008 (IST)

אי השלמות

פעם אחר פעם, בשיחות רבות (לפחות 3) פה בדף, מוצע ומומלץ להחליף את הצירוף "האי שלמות" בצירוף "אי השלמות". למה זה לא נעשה? אולי הגיע הזמן?

למה שזה כן ייעשה? --אמיר א. אהרוני · פעם ב-28 שנים! 01:42, 29 במרץ 2009 (IDT)

תקרא את ההסברים בדיונים שלמעלה, הם הסברים מצוינים ששיכנעו את הקהילה הויקיפדית (כולל אותי). טוקיוני 00:07, 30 במרץ 2009 (IDT)

שאלת הבהרה

אני מקווה אולי לערוך קצת את הערך ולהוסיף לו את רעיון ההוכחה של המשפט הראשון (רעיון שבמובן מסויים "הוליד" את תורת החישוביות), אבל לפני כן אני רוצה להבין אם לא פספסתי משהו במשפט "המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות.". על איזה אלגוריתם ואילו "טענות" מדובר כאן? למיטב הבנתי גדל הציג בניה קונסטרוקטיבית של משפט מאוד ספציפי, לא הראה אלגוריתם שבונה משפטים אחרים (כמובן שלכל מערכת יש את פסוק גדל שלה ואולי לזו הכוונה כאן, אבל אז יש כאן החלפה של סדר הכמתים - צריך לכתוב "המשפט קובע כי ניתן לבנות באופן קונסטרוקטיבי, בהינתן מערכת לוגית מקיפה מסויימת, טענה שמחד אינה ניתנת להוכחה..."). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 16:09, 6 באוקטובר 2009 (IST)

נראה לי שהכוונה הייתה כי: "גדל מצא אלגוריתים המאפשר בנייה של טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות וזאת בכל מערכת אקסיומות לוגית המכילה את האריתמטיקה". טרול רפאים - שיחה 21:45, 6 באוקטובר 2009 (IST)

כאמור, עד כמה שאני מכיר את משפט גדל (ועד כמה שהבנתי את מה שקראתי במאמר של גדל), אין "אלגוריתמים" ואין "טענות". יש טענה אחת ספציפית המותאמת לכל מערכת (אבל תמיד אומרת את אותו הדבר, רק ב"ניסוח" קצת שונה). אמנם, בעזרת הפסוק הזה אפשר להראות אי כריעות של פסוקים אחרים (ובפסוק ספציפי אחר עוסק המשפט השני) - אולי לזו הכוונה? גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 23:10, 6 באוקטובר 2009 (IST)

מטרת הניסוח בערך היא להדגיש את האפקטיביות של המשפט. נכון שגדל הוכיח *קיום* של טענה *אחת*, אבל (1) ההוכחה הזו קונסטרוקטיבית (=ניתנת למימוש באלגוריתם), ואי אפשר לברוח לפינות הקונסטרוקטיביזם; ו-(2) אין משמעות לשאלה "ואם נגביל את עצמנו לכל הטענות חוץ מזו הבעייתית" - בהנתן טענה אחת, אפשר לכתוב אינסוף אחרות (טענת גדל וגם 1=1, טענת גדל וגם 2=2). עוזי ו. - שיחה 11:21, 7 באוקטובר 2009 (IST)

נכון, אבל אז אפשר להגיד "ואם נגביל את עצמנו לכל הטענות מלבד אלו שנובעות בצורה טריוויאלית מהטענה הבעייתית". בכל אופן, אולי אנסה לשנות טיפה את הניסוח תוך שמירה על הכוונה המקורית. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 12:16, 7 באוקטובר 2009 (IST)

גם זה לא ילך, אלא אם אתה נותן ל"בצורה טריוויאלית" משמעות רחבה מאד. אפשר לשנות את הבניה במקומות רבים ולהגיע לאותה תוצאה. עוזי ו. - שיחה 21:52, 7 באוקטובר 2009 (IST)

גרוע מכך, למיטב הבנתי, אפשר תמיד להוסיף כל טענה שהיא בהכרח נכונה לטענה הנובעת ממשפט גדל... הרעיון המרכזי הוא לטעמי האלגוריתם. טרול רפאים - שיחה 10:21, 8 באוקטובר 2009 (IST)

טוב, שאלה אחרת. כאמור, הערך טוען ש"המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות.". האם אריתמטיקה מסדר שני אינה נחשבת "מערכת לוגית מקיפה"? אחרת, אני חושב שהמשפט זקוק לעידון. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 11:58, 6 במאי 2010 (IDT)

במקום "מערכת לוגית מקיפה", אפשר לנסח את המשפט באופן מדוייק. עוזי ו. - שיחה 14:13, 6 במאי 2010 (IDT)

אני סומך עלייך שתוכל לעשות זאת באפס מאמץ ויותר טוב משאני יכול. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 15:53, 6 במאי 2010 (IDT)

עוד בעניין המבוא

במבוא נאמר כך:

"מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך הנחה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח את הטענה, או לחלופין ניתן להפריכה (כלומר להוכיח שהטענה אינה נכונה). גם אם קשה מאוד לפתור בעיה מסוימת, הרי אם יושקעו בה מאמץ וכשרון במידה מספקת - תימצא לה הוכחה נאותה. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה העשרים, ידע שזו הנחה שלא זכתה להוכחה, אך הוא היטיב לתארה באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: הנה הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת".

בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה."

עם זאת, באותו נאום עצמו שממנו לקוח הציטוט של הילברט, הוא אומר (רגע לפני הציטוט המדובר) גם את זה:

"...the conviction (which every mathematician shares, but which no one has as yet supported by a proof) that every definite mathematical problem must necessarily be susceptible of an exact settlement, either in the form of an actual answer to the question asked, or by the proof of the impossibility of its solution and therewith the necessary failure of all attempts."

אם כן, בהתחשב בכך שזה מושג ה"פתרון" שאליו הילברט חותר, איני בטוח שגדל הוכיח שהנחתו של הילברט שגויה. כך למשל בדוגמה הקלאסית לאי שלמות, השערת הרצף - הבעיה "נפתרה" על ידי כך שהוכח שהיא בלתי אפשרית להכרעה.

כמובן שמשפט גדל כן "קלקל" להילברט דבר מה - את השאיפה שלו להעמיד את המתמטיקה על בסיס פיניטיסטי פשוט. אבל זה לא רלוונטי לנאום של 1900 עד כמה שאני מצליח להבין אותו. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 15:07, 22 ביוני 2010 (IDT)

משפטי אי השלמות

צריך להיות משפטי אי השלמות ולא משפטי האי שלמות. משתמש:אנונימי 51 - שיחה 13:56, 27 באוגוסט 2010 (IDT)

קרא דף זה מתחילתו, ותראה שנושא זה כבר נדון באריכות. דוד שי - שיחה 14:43, 27 באוגוסט 2010 (IDT)

קראתי, ומצאתי עוד הרבה אנשים שחושבים כמוני. "משפטי האי שלמות" זאת טעות דקדוקית. חיפשתי בגוגל, "אי השלמות של גדל" מופיע 57,200 פעמים, ואילו "האי שלמות של גדל" מופיע 973 פעמים. אולי זה ישכנע אתכם. משתמש:אנונימי 51 - שיחה 18:18, 27 באוגוסט 2010 (IDT)

יש נושאים שבהם לא מביאים הוכחה מגוגל. בהשוואה בין "היושב ראש" לבין "יושב הראש" גוגל מציג יתרון קל לגרסה השגויה, "יושב הראש". דוד שי - שיחה 21:54, 27 באוגוסט 2010 (IDT)

"יושב הראש" זאת גירסה נכונה! מאיפה אתם לוקחים את זה? זה כמו "בית הספר" או "אי הוודאות". משתמש:אנונימי 51 - שיחה 22:33, 27 באוגוסט 2010 (IDT)

שינוי שם

בעד שינוי שם הערך ממשפטי האי שלמות של גדל למשפטי אי השלמות של גדל. יש חוקים וכללים לשפה העברית, ואין שום סיבה שלא לציית להם במקרה זה. קולנואני - שיחה 01:53, 15 בינואר 2012 (IST)

הדיון התקיים מיליון פעמים כבר. השם הנוכחי הוא התקני. דניאל • תרמו ערך 10:56, 15 בינואר 2012 (IST)

אני לא מסכים כי זוהי צורה תקנית. קולנואני - שיחה 17:44, 15 בינואר 2012 (IST)

אז תקרא את כל הדיונים הקודמים ותוסיף נימוק חדש אם יש לך. דניאל • תרמו ערך 19:49, 15 בינואר 2012 (IST)

קראתי את כל הדיונים הקודמים. וגם את הערכים ה"א הידיעה וסמיכות. ולעניות דעתי, השם הנוכחי איננו תקני. אולי מוטב כי מומחים ללשון עברית יתנו על כך את הדעת. קולנואני - שיחה 20:49, 15 בינואר 2012 (IST)

אם קראת את הדיונים הקודמים, אתה יודע שהם כבר עשו זאת. דניאל • תרמו ערך 21:04, 15 בינואר 2012 (IST)

קראתי הודעות ודעות של כותבים רבים. אין לי דרך לדעת מי מהם הוא מומחה ללשון. קולנואני - שיחה 21:13, 15 בינואר 2012 (IST)

אלדד, אביעד ועמנואל לוטם. דניאל • תרמו ערך 22:59, 15 בינואר 2012 (IST)

אוקיי. תודה. קולנואני - שיחה 00:54, 16 בינואר 2012 (IST)

"אי שלמות" זו לא סמיכות. אם אתה מסתמך על הערך "סמיכות", אתה מפעיל את הכלי הלא הנכון לטיפול בשאלה הלא נכונה. עד שתמצא מקור כלשהו שאומר ש"משפט אי השלמות" הוא צורה תקינה, אין צורך להמשיך בדיון הזה. קיפודנחש - שיחה 01:18, 16 בינואר 2012 (IST)

אם רוצים אינטואיציה חזקה למה זה הכתיב הנכון, אפשר לבחון את "האי-זוגי" לעומת "אי-הזוגי". אני רואה שהוסגיה הזו עולה מחדש כל כמה זמן. אני מציע לשים הערת שוליים בפתיח הערך (וגם בעקרון האי-ודאות, במשפט האי-אפשרות של ארו, במשפט האי-מנייה הראשון של קנטור ומשפט האי-שלמות של צ'ייטין) שמסבירה את עניין מיקום ה"א הידיעה. ואם כבר דיון בשם הערך, לא צריך להיות "האי-שלמות" עם מקף? דניאל • תרמו ערך 01:27, 16 בינואר 2012 (IST)

באמת חסר מקף. דניאל, "אי הזוגי" נשמע גרוע, אבל "אי הזוגיות של מספר" נשמע קצת יותר טוב, אם כי עדיין לא נכון. --אלעזר - שיחה 09:39, 16 בינואר 2012 (IST)

מזכיר קצת את הקריין הצעיר בגל"צ שניסה להדר בלשונו ואמר "כל קצין וחצין בצה"ל", והמרואיין זריז הלשון שהגיב ב"כל קריין וחריין בגל"צ". קיפודנחש - שיחה 17:15, 16 בינואר 2012 (IST)

בדקתי את העניין, ושתי הצורות תקניות: "השתמעות ההחלטה היא שאין האקדמיה קובעת עמדה בשאלת היידוע והריבוי של צירופים בעלי תחיליות כגון 'תת־אלוף' ('התת־אלוף' / 'תת־האלוף'; 'תת־אלופים' / 'תתי־אלופים' וכיו"ב).". כפי שכבר נאמר, "משפטי אי-השלמות" זו הצורה הנפוצה מבין השתים, לכן אני בעד להחליף את שם הערך.

אלדד, מה דעתך לאור עמדת האקדמיה? דניאל 23:51, 18 בדצמבר 2014 (IST)

האמת היא שאני מכיר את עמדת האקדמיה בעניין הזה. אבל במקרה של אי- לא מדובר באותן תחיליות כמו תת- וכו'. מדובר כאן במילת שלילה, ולא בצורת סמיכות. השווה "בלתי-". כמו שלא נכון לומר "עניתי את התשובה בלתי-הנכונה" אלא "עניתי את התשובה הבלתי-נכונה" (אם כי אני כבר מזמן לא שם מקף בין בלתי למילה שאחריה), כך גם אי- היא מילית שלילה. לכן בכתיב התקני אנחנו אמורים להוסיף את היידוע לפניה, ולא אחריה. כמו שתגיד "הלא-נכון", ולא "לא-הנכון", כך גם "האי-שלמות", ולא "אי השלמות" (האי של השלמות). כפי שכתב קיפודנחש לעיל, לא מדובר כאן בצורת סמיכות. אלדד • שיחה 07:37, 19 בדצמבר 2014 (IST)

תודה אלדד. תוכל לנסח הודעה שתסביר את הסוגיה שנוכל לשים כהערת שוליים בפתיח של כל ערך רלוונטי? זה נראה לי מתבקש לאור כמות התמיהות על הנושא. דניאל 13:36, 19 בדצמבר 2014 (IST)

אפשר לנסח זאת כך: "אי-" היא מילית שלילה – ולא צורת סמיכות. כשיש מילית שלילה מצרפים את היידוע לפניה, ולא אחריה; דוגמאות: "הבלתי-משוחדים" ולא "בלתי-המשוחדים"; "הלא-נכון" ולא "לא-הנכון", וכו'. זאת ועוד, הוספת היידוע למילה הבאה מתבצעת בצורת סמיכות: "אי-השלמות", אבל מכאן עולה משמעות אחרת מזו שהתכוונו אליה: "האי של השלמות". אלדד • שיחה 19:53, 23 בדצמבר 2014 (IST)

כולכם טועים. "אי" מתפקד כשם עצם במקרה זה. עובדה שהצירוף "אי-שלמות" הוא שם עצם. "לא נכון", "בלתי משוחד", "אי זוגי" הם תארים ולא שמות עצם, ולכן אין להקיש מהם. (אם הייתי אומר "בלתי המשוחד" המשמעות היתה "שהמשוחד שלו הוא בלתי" - משפט חסר משמעות. כמו ש"חסר משמעות" משמעותו "שהמשמעות שלו חסרה".)

הי-לכך (לא רציתי לכתוב "אי-לכך" בהקשר הנוכחי...) הצורה הנכונה היא "אי-השלמות" בדיוק כמו "תת-האלוף".

אבל בהתחשב בעובדה שהאקדמיה לא הכריעו, אני מניח שלא תשנו את דעתכם רק בגלל האמת...

(אנצל את הבמה להערה בנושא שלגמרי לא רלוונטי לכאן, אבל בא לי להשמיע את קולי בנושא:

המילה "ראש" מתפקדת כשם-עצם, כתואר-הפועל (בצירוף "יושב ראש") וכתואר, בצירופים "הכהן הראש", "האבן הראשה".

בצירוף "ראש הממשלה" המילה משמשת כשם עצם, אבל אם אני אומר "ראשת הממשלה" המילה תהיה תואר, כי בתור שם עצם המילה הזאת לא נוטה לזכר ונקבה, ואם מטים אותה לנקבה מוכרחים לומר שהיא תואר, ולכן המשמעות היא "שהממשלה שלה היא ראשה", כלומר, ממשלתה מרוממת מעל הממשלות האחרות.

הלוואי יישמעו דברי למי שקבע שהצירוף "ראשת ה-" הוא תקין, ונאמר אמן.) 213.151.37.12 13:22, 18 בנובמבר 2015 (IST)

נמצאו קישורים חיצוניים שצריכים תיקון (אוקטובר 2022)

שלום עורכים יקרים,

מצאתי קישור חיצוני אחד או יותר במשפטי האי-שלמות של גדל שזקוק לתשומת לב. אנא קחו רגע כדי לבדוק את הקישורים שמצאתי ולתקן אותם בערך אם נדרש. מצאתי את הבעיות הבאות:

• http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf נמצא כקישור שבור. מומלץ להוסיף https://web.archive.org/web/20040916041216/http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf לכתובת המקורית.

כאשר תסיימו לערוך את השינויים הנדרשים, אנא בקרו בדף השו"ת למידע נוסף לתיקון בעיות עם הקישורים לעיל.

הודעה זו תופיע רק פעם אחת לקישורים אלו.

בידידות.—InternetArchiveBot (דווח על באג) 02:54, 12 באוקטובר 2022 (IDT)

שם הערך אינו תקין בעברית

יש לומר "משפטי אי-השלמות" ולא כפי שנכתב.

אני מציע לשנות את שם הערך וההתיחסויות בהתאם. אם אין התנגדויות - אעשה זאת. עפר ש - שיחה 15:27, 8 בספטמבר 2023 (IDT)

הנושא נדון כבר בדיונים אחדים בדף שיחה זה. ראה גם עמדת האקדמיה ללשון העברית]. דוד שי - שיחה 15:53, 8 בספטמבר 2023 (IDT)