שיחה:משפט קנטור

התאמה חד-חד ערכית

בס"ד

ההוכחה המופיעה פה, מסבירה למה אין התאמה חד-חד ערכית ועל. אבל יכולה להיות התאמה חד-חד ערכית לשני הכיוונים, שאז הקבוצות יהיו שוות. (נכתב על-ידי אלמוני ב-00:42, 9 בינואר 2005)

העניין הוא בכך ששקילות (שים לב, לא שוויון) של קבוצות מוגדרת על ידי קיום של התאמה חח"ע ועל מאחת לשנייה. משפט קנטור שרדר ברנשטיין אומר שאם יש פונקציה חד חד ערכית בשני הכיוונים, אז הקבוצות שקולות, כלומר יש התאמה חד חד ערכית ועל בינן. למעשה, הוכחת המשפט בונה את אותה התאמה. גדי אלכסנדרוביץ' 05:14, 9 ינו' 2005 (UTC)

שם הערך

נראה לי שעדיף לקרוא לערך משפט קנטור (תורת הקבוצות). חוו דעתכם. אבינעם 12:54, 20 אפר' 2005 (UTC)

לדעתי (ואני הוא נותן השם המקורי) אפשר וכדאי לשנות. אם אין כאן התנגדויות אעשה זאת. גדי אלכסנדרוביץ' 14:45, 8 באוקטובר 2006 (IST)

לגדי, תודה (וטוב מאוחר מאשר אף פעם...). אבינעם 21:18, 9 באוקטובר 2006 (IST)

אפשר גם להוכיח את המשפט

באמצעות האלכסון של קנטור. --כרוז • שיחה 17:14, 14 בפברואר 2008 (IST)

ההוכחה היא האלכסון של קנטור (מוכלל). גדי אלכסנדרוביץ' 11:36, 15 בפברואר 2008 (IST)

כל הכבוד

על ההשקעה. שאלה: מה משמעות הסימון |A|? האם הכוונה לעצמת הקבוצה? כשלמדתי את המשפט ההגדרה שניתנה לי היא: „לכל קבוצה A (ריקה, סופית או אינסופית), A אינה שקולה ל־P(A)‎”. האם ההגדרה „העצמה של קבוצה A תמיד קטנה מעצמת P(A)‎“ מדויקת יותר? ‏Ofekalef • שיחה • הצטרפו למיזם המקורי!‏ 18:29, 17 בדצמבר 2011 (IST)

תודה! בפרק "רקע" שבערך ציינתי שסימון זה אכן משמעו העוצמה של A. אין בעיה בנוסח "לכל קבוצה A (ריקה, סופית או אינסופית), A אינה שקולה ל־P(A)‎", אבל הוא מוסר קצת פחות מידע. כשאני אומר שהעוצמה של A קטנה מעוצמת קבוצת החזקה שלה, לא רק שאני מציין שהן אינן שקולות, אני גם קובע מי מביניהן גדולה יותר. דניאל • תרמו ערך 18:34, 17 בדצמבר 2011 (IST)

(כן, אקרא לעומק לאחר שתסתיים העבודה). הבנתי, תודה! ‏Ofekalef • שיחה • הצטרפו למיזם המקורי!‏ 20:09, 17 בדצמבר 2011 (IST)

הפרדוקס של ראסל

המשפט "ואכן, ניתן לראות בפרדוקס של ראסל מקרה פרטי של הוכחת משפט קנטור לגבי הקבוצה $U$." - אינו ברור. לי הוא נראה מופרך שכן קשה לראות כיצד פרדוקס יכול להיות מקרה פרטי של הוכחה. האם הכוונה היא שהפעלת ההוכחה על U מביאה לפרדוקס של ראסל? ואם כן מה הפרדוקס? שההוכחה לא מוכיחה? בקיצור. אינו מבין את כל הסעיף על פרדוקס זה. עדירל - שיחה 13:43, 29 בדצמבר 2011 (IST)

פרדוקס הוא הוכחה המובילה לסתירה, ולכן ייתכן שפרדוקס הוא מקרה פרטי של הוכחה כללית. קיומו של פרדוקס כזה מערער את תקפותה של שיטת ההוכחה הכללית או של התורה שבמסגרתה נוצרה ההוכחה, ומחייב מציאת תרופה. במקרה שלפנינו, הפעלת ההוכחה על U מביאה לפרדוקס של ראסל, ולכן התרופה שנמצאה היא יצירת מערכת אקסיומות שמונעת את קיומה של הקבוצה $U$. דוד שי - שיחה 12:55, 31 בדצמבר 2011 (IST)

לא ביקשתי הסבר, אלא שההסבר בערך יהיה ברור ויבהיר גם את ההבדל בין שני הפרדוקסים. עדירל - שיחה 18:05, 31 בדצמבר 2011 (IST)

לא הבנתי מה בדיוק את מבקש. בערך כתוב שהבעיה נובעת מזה שקבוצת כל הקבוצות קיימת. מה צריך להוסיף? דניאל • תרמו ערך 19:13, 31 בדצמבר 2011 (IST)

היה סמוך ובטוח שהפסקה לא מובנת. אני איני רוצה דבר. עדירל - שיחה 20:31, 31 בדצמבר 2011 (IST)

אולי אפשר לשנות ל"ואכן, בחינת ההוכחה של משפט קנטור עבור הקבוצה $U$ מביאה לפרדוקס של ראסל", או ניסוח דומה. תומר - שיחה 20:37, 31 בדצמבר 2011 (IST)

אוקיי, אתה יכול להסביר שוב מה לא ברור? האם זה פתרון הפרדוקס? דניאל • תרמו ערך 20:59, 31 בדצמבר 2011 (IST)

הפרק על בעיית הכרעה

הפרק על בעיית הכרעה מקומו שם. כאן יש לכתוב שבין השימושים של משפט קנטור ניתן למנות את ההוכחה שלא ניתן לפתור כל העיית הכרעה שכן העוצמה של הבעיות הו P ועוצמת תוכניות המחשב הוא רק N. עדירל - שיחה 13:50, 29 בדצמבר 2011 (IST)

את הקצרמר בעיית הכרעה ראוי להרחיב, אך ההתייחסות אליו בערך שלפנינו היא בהיקף הראוי ובהקשר הראוי, ואין לקצרה. דוד שי - שיחה 13:02, 31 בדצמבר 2011 (IST)

משפט

לא הבנתי כל צורכו את המשפט הנ"ל (בפרק "סימנים") פונקציה מ-$A$ ל-$B$ מסמנים $f:A\to B$. את האיבר ב-$B$ שהפונקציה מתאימה לאיבר $a$ ב-$A$ מסמנים $f(a)$. יש לי תחושה שחסרה שם איזה מילה שתבהיר את העניין. TZivyA • אהמ? • 11:04, 5 בינואר 2012 (IST)

הגדרת פונקציה בערך היא "פונקציה מקבוצה A לקבוצה B היא התאמה שמתאימה לכל איבר ב-A איבר כלשהו ב-B". אנחנו רוצים שתהיה לנו דרך לסמן את האיבר ב-B שהפונקציה f התאימה אותו לאיבר a ב-A. הסימון הזה הוא $f(a)$. במילים אחרות, הפונקציה f מתאימה לאיבר a (שהוא איבר של A) את האיבר $f(a)$ (שהוא איבר של B). אם למדת פונקציות בתיכון, אז נתקלת שם באותו עניין בדיוק. הפונקציה $f(x)=x+1$ מתאימה ל-1 את $f(1)=2$. דניאל • תרמו ערך 11:17, 5 בינואר 2012 (IST)

עכשיו אני נזכרת, ובאמת תמיד הטריד אותי במקצת כשלא כתבו סתם "Y". אולי פשוט תכתוב את הדוגמה הזאת? TZivyA • אהמ? • 11:23, 5 בינואר 2012 (IST)

הוספתי דוגמה. דניאל • תרמו ערך 11:26, 5 בינואר 2012 (IST)

תודה. אגב, לא רוצה להגיש אותו למומלצות? TZivyA • אהמ? • 11:30, 5 בינואר 2012 (IST)

כן. אם הוא מתאים. דניאל • תרמו ערך 12:09, 5 בינואר 2012 (IST)

השאלה היא אם הוא מוכן. אם כן, למה לא להוסיף? TZivyA • אהמ? • 12:11, 5 בינואר 2012 (IST)

מוכן. אני רק מתלבט לגבי פרק הלכסון האם לתמצת ולהוציא לערך עצמאי. אבל אפשר לשקול את זה גם ברשימת המתנה. דניאל • תרמו ערך 12:12, 5 בינואר 2012 (IST)

הערות מרשימת ההמתנה

ערך שווה ומעניין של הויקיפד הדגול דניאל ב. שהרחיבו כליל מהמקור הראשוני שכלל שתי פיסקאות, כמדומני. לדעתי הערך צריך לקבל את אות "מתמטיקה להדיוטות ואדיוטים" ולהוות סמל ודוגמה באשר להפשטת מונחים מתמטיים. אני לא ממש יכולה לשפוט על טיב תוכנו משום שאני אפילו לא קצת מתמטיקאית, אז אתם מוזמנים לעשות זאת. TZivyA • אהמ? • 14:11, 5 בינואר 2012 (IST)

הקדמת אותי בקצת. הערך הזה הוא אחד מערכי המתמטיקה הטובים. הוא מציג הן סקירה היסטורית והן הוכחות והסברים מתמטיים מתאימים. אמנם הבנתי באופן מלא רק עד לפני הפרק „מסקנות והשלכות“ - אך הערך מציג בצורה ברורה את כל המושגים, בלי צורך לעבור לערכים מורחבים, וכתוב טוב. ‏Ofekalef • שיחה • הצטרפו למיזם המקורי!‏ 16:38, 5 בינואר 2012 (IST)

ערך יפה. ערן - שיחה 19:17, 5 בינואר 2012 (IST)

אכן ערך יפה ומושקע, עשיר בדוגמאות ובמקורות ובהחלט מתאים להיות מומלץ. כל הכבוד! Amir37 - שיחה 23:27, 5 בינואר 2012 (IST)

ערך מצוין, רק חסרה לי רשימה של ספרים לקריאה נוספת, בהם ספרי לימוד בעברית ובאנגלית בנושא, לקורא שמעוניין להרחיב את ידיעותיו בנושא. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 00:08, 6 בינואר 2012 (IST)

בעד ובנוסף אם מישהו היה לוקח על עצמו לעשות את אותה עבודה על הערך גיאורג קנטור ... גיא - שיחה 17:14, 6 בינואר 2012 (IST)

אכן מעניין (למרות שמתמטיקה משעממת אותי) כיכר השבת • שיחה • שָׁמוֹר וְזָכוֹר 18:42, 8 בינואר 2012 (IST)

עבודה נאה מאוד של דניאל. יש לי הערה קנטרנית לגבי המשפט "נניח כי כל מועדון נקרא על שם אחד התושבים (תושב לא חייב להיות חבר במועדון הקרוי על שמו), ועל שם אף תושב לא נקרא יותר ממועדון אחד (זוהי ההנחה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין הקבוצות).". להבנתי, ההגדרה לא מחייבת שלכל תושב יהיה מועדון קרוי על שמו. קלאו - שיחה. ויקיפדיה אינה מצונזרת. 19:51, 8 בינואר 2012 (IST)

אכן, לשם ההוכחה מספיק לדרוש שהפונקציה תהיה חד-חד-ערכית, ולא חייבים לדרוש שהיא תהיה גם על. אולם אם מסירים את דרישת העל, אז נדרש להשתמש במשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין, ולשם הפשטות, העדפתי שלא לעשות זאת. דניאל • תרמו ערך 19:57, 8 בינואר 2012 (IST)

אכן לא הכרחי, אבל ההגדרה הנ"ל אינה על. כדי שהיא תהיה על יש לכתוב "נניח כי כל מועדון נקרא על שם אחד התושבים (תושב לא חייב להיות חבר במועדון הקרוי על שמו), ועל כל תושב נקרא בדיוק מועדון אחד."

מת'נייט, יש ספרים מצוינים לקריאה נוספת, אבל האם לא עדיף שאוסיף אותם בערך הכללי תורת הקבוצות? דניאל • תרמו ערך 19:57, 8 בינואר 2012 (IST)

אם יש ספרים שרלבנטיים לערך משפט קנטור, ראוי לתת אותם בערך זה (תוך ציון הפרק הרלבנטי). דוד שי - שיחה 22:29, 10 בינואר 2012 (IST)

לזה התכוונתי. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 22:35, 10 בינואר 2012 (IST)

הוספתי לערך הפניות לשני ספרים על תורת הקבוצות תוך ציון העמודים הרלוונטים (אחד מהספרים נכתב על ידי רוברט ווט שאני מקווה לכתוב עליו בקרוב). הוספתי גם ציטוט נפלא של קנטור. דניאל • תרמו ערך 14:15, 11 בינואר 2012 (IST)

מצויין. בעד. קבל ח"ח על הערך. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 13:06, 13 בינואר 2012 (IST)

אני חסר השכלה במתמטיקה ולכן אני לא יכול לחוות דעה מהותית, אבל חצי הערך שכן קראתי (וכן; ההוכחה של קנטור עדיין מעצבנת אותי) בהיר, יפה, וכנראה גם מדויק, כך שאני תומך בהמלצה. Nachy • שיחה 00:21, 12 בינואר 2012 (IST)

גראוצ'ו

בהסבר האינטואיטיבי של סמוליאן, אני מניח שהשם גראוצ'ו נבחר כהומאז' לאמרה המפורסמת של גראוצ'ו מרקס שאינו מוכן להיות חבר במועדון המוכן לקבל אותו כחבר . אולי כדאי להוסיף על זה הערת שוליים עם קישור למרקס ע"מ שהקורא לא יפספס את הבדיחה. בנוסף אני מצטרף לברכות על הערך המרתק. H. sapiens - שיחה 20:38, 15 בינואר 2012 (IST)

זה עוזי הכניס. אכן בחירה משעשעת, לא נתתי דעתי על כך עד כה . לא נראה לי שזה מופיע במקור. דניאל • תרמו ערך 20:48, 15 בינואר 2012 (IST)

ערך מומלץ?

הערך "משפט קנטור" מופיע היום באזור ה"ערך המומלץ" של הדף הראשי. יחד עם זאת, לא מצאתי סימן ל"ערך מומלץ" בגוף הערך, כפי שמקובל בד"כ ואף לא ציון של הדברים בדף השיחה. אם כך, האם זהו אכן ערך מומלץ או שרצוי יהיה שיפנה את מקומו לטובת ערך אחר מתוך המבחר הרב שיש, של אלה שאכן זכו להמלצה? ‏Ldorfman‏ • שיחה 09:37, 8 בפברואר 2012 (IST)

ראשית, אצלי כן מופיע סימון המומלץ. שנית, ראה שיחה:משפט קנטור/הצעת הוספה למומלצים. Botend - שיחה 09:39, 8 בפברואר 2012 (IST)

קבל תיקון. בדקתי בשנית ואכן משום-מה לוקח לסימן ה"מומלץ" קצת זמן להופיע, אולם הוא אכן מופיע לבסוף. יום נעים, ‏Ldorfman‏ • שיחה 09:45, 8 בפברואר 2012 (IST)

קישור שבור

במהלך מספר ריצות אוטומטיות של הבוט, נמצא שהקישור החיצוני הבא אינו זמין. אנא בדקו אם הקישור אכן שבור, ותקנו אותו או הסירו אותו במקרה זה!

• http://www.ias.ac.in/resonance/Aug2004/pdf/Aug2004p8-17.pdf
  • In משפט קנטור on 2013-09-13 04:04:27, 404 Not Found
  • In משפט קנטור on 2013-09-16 00:36:57, 404 Not Found
  • In משפט קנטור on 2013-09-25 09:21:12, 404 Not Found

--Matanyabot - שיחה 12:21, 25 בספטמבר 2013 (IDT)