שיחה:משפט שטולץ

המשפט חשוב ומשמש אחר כך להוכחת התכנסות בפונקציות וכלל לופיטל, רק חסרה לי ההוכחה שלו. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 14:06, 10 בינואר 2007 (IST)

אני מבטיח לכתוב הוכחה. אלא אם כן מישהו יעשה את זה לפני. Maromn 14:42, 10 בינואר 2007 (IST)

הוכחה

העלתי הוכחה למשפט בויקיספר הוכחות מתמטיות: [1]. אפשר לעשות בה שימוש, אבל כמובן שהוכחות אחרות תמיד מתקבלות בברכה. :) TUCG 12:52, 2 במרץ 2007 (IST)

מהההה. עד שכתבתי את ההוכחה, שלי סתם יצא ארוך יותר. אתה מוזמן להעתיק אותה, ולהסיר את התבנית. Maromn 12:59, 2 במרץ 2007 (IST)

אוקי. אם כך, אעשה זאת. TUCG 13:16, 2 במרץ 2007 (IST)

הערה- ההוכחה לא מכסה את המקרה בו l הוא אינסופי. TUCG 14:30, 7 במרץ 2007 (IST)

מן הסתם.. בהוכחה שלי אני רשמתי את זה, ורציתי להוסיף גם פה ושכחתי. הוכחה עבור l סופי מספיקה בהחלט. Maromn 19:56, 7 במרץ 2007 (IST)

אגב, למה אתה רושם את זה בדף השיחה במקום להוסיף את ההערה בערך? Maromn 19:58, 7 במרץ 2007 (IST)

קיוויתי שמישהו יוכל להשלים את ההוכחה. אין לי בנמצא כרגע הוכחה עבור המקרה של גבול אינסופי וגם לא עולה לי לראש כרגע דרך להוכיח (אבל גם לא ברור לי למה הוכחה עבור גבול סופי "מספיקה בהחלט"). TUCG 17:46, 8 במרץ 2007 (IST)

לא צריך הוכחה למקרה השני כי זה לא ויקיספר, ואפשר להוכיח בדיוק כמו ההוכחה הרגילה (אולי באמת כדי לציין את זה בערך):

יהי $M>0\,$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים $N\,$ טבעי, כך שלכל $n>N\,$ מתקיים: ${\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}>{M \over 2}$ כיוון שהסדרה $\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית עולה ממש, $y_{n+1}>y_{n}\,$, כלומר $y_{n+1}-y_{n}>0\,$ וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל: $x_{n+1}-x_{n}>{M \over 2}\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)$ יהא $k>N\,$ טבעי כלשהו כך ש- $y_{k}>0\,$ (בהכרח קיים $k\,$ כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל $N+1\leq n\leq k$ נקבל את האי שוויון הבא: $\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({x_{i+1}-x_{i}}\right)}>{M \over 2}\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}$ $\Updownarrow$ $x_{k+1}-x_{N+1}>{M \over 2}\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)$ נחלק את אי השיוויון ב- $y_{k+1}>0\,$ ונקבל: $\textstyle {\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>{M \over 2}\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)$ $\Updownarrow$ $\textstyle {\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}>{M \over 2}\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}$ ברור כי $\lim _{k\to \infty }\textstyle {M \over 2}\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}={M \over 2}$ לכן קיים $K\,$ טבעי כך שלכל $k>K\,$ מתקיים $\textstyle {M \over 2}\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>M$.

ושוב בוחרים את המקסימום ומקבלים שזה אינסוף. Maromn 18:56, 8 במרץ 2007 (IST)